Considere a função f(x) definida por f(x)=integral0^x sen(t) d t.
Determine a função primitiva de f(x);

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma função primitiva da função . Isso está relacionado ao cálculo de integrais e primitivas, ou seja, encontrar uma função cuja derivada seja .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é f(x) = integral0^x sin(t) , dt . Ele é definido como a integral de de 0 até . Vamos calcular essa integral:

Passo 3

Sabemos que a integral de f(x) = [ -cos(t) ]0^x = -cos(x) - (-cos(0)) = -cos(x) + 1 é . Assim, ao calcular a integral definida, temos:
Portanto, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma função primitiva de F(x) = integral f(x) , dx = integral (1 - cos(x)) , dx . Isso significa encontrar uma função tal que .
Vamos integrar :

Passo 5

Calculando a integral:
integral 1 , dx = x
integral -cos(x) , dx = -sin(x)
Então, somando as integrais:
F(x) = x - sin(x) + C
Onde é a constante de integração. Como estamos procurando apenas uma primitiva, podemos desconsiderar a constante.

Resposta

A função primitiva de é .

Exercícios relacionados