Um grande bloco de gelo tem a forma de um cubo perfeito. À medida que derrete, cada aresta do cubo diminui a uma taxa de . A que taxa o volume do cubo de gelo está mudando?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um grande bloco de gelo em forma de cubo perfeito que está derretendo. Cada aresta do cubo está diminuindo a uma taxa de . A gente quer descobrir a que velocidade o volume desse cubo está mudando. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para relacionar a mudança no comprimento das arestas com a mudança no volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cubo. Um cubo tem todas as arestas de mesmo comprimento, então se chamarmos o comprimento de uma aresta de , o volume do cubo é dado por:

Passo 3

Agora, como as arestas do cubo estão mudando com o tempo, o volume também está mudando com o tempo. Para encontrar a taxa de mudança do volume em relação ao tempo ( ), vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo .

Passo 4

Aplicando a regra da derivada para potências, sabemos que:
Então, temos:

Passo 5

A questão nos diz que cada aresta está diminuindo a uma taxa de . Isso significa que (o sinal negativo indica que o comprimento está diminuindo).
Substituindo esse valor na expressão que encontramos:

Resposta

A taxa de variação do volume do cubo de gelo está diminuindo a .

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Escreva as seguintes funções como uma série de potências e forneça os intervalos de convergência.
(b)
Suponha que uma espécie de peixe em um lago seja modelada por um modelo logístico de população com uma taxa de crescimento relativa de por ano e uma capacidade de carga de . A equação diferencial que descreve o modelo logístico de população para este problema é dada por
em que é a população depois de anos. Se 2500 peixes são inicialmente introduzidos no lago, encontre a taxa na qual a população está mudando. Use-a para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Dica: Use a equação da reta tangente no ponto para estimar o número de peixes no lago após 2 anos.
Escreva a fórmula do termo geral da sequência e determine seu limite (caso exista):
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Resolva as integrais: