Um grande bloco de gelo tem a forma de um cubo perfeito. À medida que derrete, cada aresta do cubo diminui a uma taxa de 2 cm/min. A que taxa o volume do cubo de gelo está mudando?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um grande bloco de gelo em forma de cubo perfeito que está derretendo. Cada aresta do cubo está diminuindo a uma taxa de . A gente quer descobrir a que velocidade o volume desse cubo está mudando. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para relacionar a mudança no comprimento das arestas com a mudança no volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cubo. Um cubo tem todas as arestas de mesmo comprimento, então se chamarmos o comprimento de uma aresta de , o volume do cubo é dado por:

Passo 3

Agora, como as arestas do cubo estão mudando com o tempo, o volume também está mudando com o tempo. Para encontrar a taxa de mudança do volume em relação ao tempo ( ), vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo .

Passo 4

Aplicando a regra da derivada para potências, sabemos que:
Então, temos:

Passo 5

A questão nos diz que cada aresta está diminuindo a uma taxa de . Isso significa que (o sinal negativo indica que o comprimento está diminuindo).
Substituindo esse valor na expressão que encontramos:

Resposta

A taxa de variação do volume do cubo de gelo está diminuindo a .

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