Resolva as integrais: integral1^4 1raizx(raizx+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especialmente com integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição adequada que simplifique a expressão para que possamos integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso vai nos ajudar a simplificar o denominador.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = 12raizx dx Rightarrow dx = 2raizx , du em termos de . Sabemos que , então derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Vamos substituir integral 1raizx( raizx + 1)^3 dx = integral 1(u - 1)u^3 cdot 2(u - 1) du e na integral original. Sabemos que , então substituindo na integral:

Passo 5

Simplificando a expressão, os 2 integral 1u^3 du = 2 integral u^-3 du no numerador e denominador se cancelam:

Passo 6

Agora, vamos integrar 2 cdot ( u^-2-2 ) + C = -u^-2 + C = -1u^2 + C . A integral de é quando . Então:

Passo 7

Retornando para a variável original -1(raizx + 1)^2 + C , lembramos que . Então:

Passo 8

Agora, precisamos avaliar a integral definida de 1 a 4. Vamos substituir os limites na antiderivada:
[ -1(raizx + 1)^2 ]1^4 = -1(raiz4 + 1)^2 + 1(raiz1 + 1)^2 = -1(2 + 1)^2 + 1(1 + 1)^2 = -19 + 14

Passo 9

Calculando os valores:
-19 + 14 = -436 + 936 = 536

Resposta

O valor da integral é .

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