Resolva as integrais usando métodos adequados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular:
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, vamos usar substituição e frações parciais, que são técnicas comuns em cálculo para simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, bora fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
Então, elevando ao quadrado dos dois lados, temos:
Agora, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando as expressões dentro dos parênteses:
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Então, a integral agora é:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a integral se torna:
Passo 5
Agora, vamos usar frações parciais para decompor a fração. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
- Expanda
:
- Expanda
:
- Expanda
:
Agora, somando tudo:
Passo 7
Agrupando termos semelhantes:
- Termos com
:
- Termos com
:
- Termos com
:
- Termo constante:
Agora, igualamos aos termos do lado esquerdo
:
Passo 8
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Resolvendo:
- Da equação 4:
- Substituindo
na equação 1: → - Substituindo
na equação 2: - Substituindo
na equação 3:
Usando
na equação 2:
Substituindo
na equação 3:
Então,
e
Passo 9
Agora, temos os valores:
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 10
Voltando à integral, temos:
Distribuindo o 2:
Passo 11
Vamos resolver cada integral separadamente:
- Para
, a integral é:
- Para
, vamos dividir em duas partes: -
Passo 12
Resolva cada parte:
-
: - Use substituição:
- Então,
- Multiplicando por
:
- Use substituição:
-
: - Isso se parece com a integral de
, cuja antiderivada é - Aqui,
:
- Isso se parece com a integral de
Passo 13
Juntando tudo, a integral fica:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando
:
Resposta
A integral é igual a:
onde
é a constante de integração.