Resolva as integrais usando métodos adequados: integral (raizx+2+3) d x(x+5)(x+2+raizx+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular:
integral (raizx+2 + 3)(x + 5)(x + 2 + raizx+2) , dx
Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções racionais e raízes quadradas. Para resolver, vamos usar substituição e frações parciais, que são técnicas comuns em cálculo para simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, bora fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
t = raizx + 2
Então, elevando ao quadrado dos dois lados, temos:
t^2 = x + 2 Rightarrow x = t^2 - 2
Agora, derivando ambos os lados em relação a dx = 2t , dt :

Passo 3

Vamos substituir integral (raizx+2 + 3)(x + 5)(x + 2 + raizx+2) , dx = integral (t + 3)(t^2 - 2 + 5)(t^2 - 2 + 2 + t) cdot 2t , dt e x + 5 = t^2 - 2 + 5 = t^2 + 3 na integral original:
x + 2 + raizx+2 = t^2 - 2 + 2 + t = t^2 + t
Simplificando as expressões dentro dos parênteses:
2 integral t(t + 3)(t^2 + 3)(t^2 + t) , dt
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
t(t + 3) = t^2 + 3t
Então, a integral agora é:
2 integral t^2 + 3t(t^2 + 3)(t^2 + t) , dt
Podemos fatorar o denominador:
t^2 + t = t(t + 1)
Então, a integral se torna:
2 integral t^2 + 3t(t^2 + 3)t(t + 1) , dt

Passo 5

Agora, vamos usar frações parciais para decompor a fração. Queremos escrever:
t^2 + 3t(t^2 + 3)t(t + 1) = At + Bt + 1 + Ct + Dt^2 + 3
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum t^2 + 3t = A(t + 1)(t^2 + 3) + B t(t^2 + 3) + (Ct + D)t(t + 1) :

Passo 6

Vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
  1. Expanda A(t^3 + t^2 + 3t + 3) :
B(t^3 + 3t)
  1. Expanda Ct(t^2 + t) + D(t^2 + t) = Ct^3 + Ct^2 + Dt^2 + Dt :
A t^3 + A t^2 + 3A t + 3A + B t^3 + 3B t + Ct^3 + Ct^2 + Dt^2 + Dt
  1. Expanda :
Agora, somando tudo:

Passo 7

Agrupando termos semelhantes:
  • Termos com (A + B + C) t^3 :
(A + C + D) t^2
  • Termos com (3A + 3B + D) t :
3A
  • Termos com (A + B + C) t^3 + (A + C + D) t^2 + (3A + 3B + D) t + 3A = t^2 + 3t :
  • Termo constante:
Agora, igualamos aos termos do lado esquerdo :

Passo 8

Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. -B + D = 1 Rightarrow D = B + 1 (coeficiente de 3B + (B + 1) = 3 Rightarrow 4B + 1 = 3 Rightarrow 4B = 2 Rightarrow B = 12 )
  2. (coeficiente de )
  3. (coeficiente de )
  4. (termo constante)
Resolvendo:
  • Da equação 4:
  • Substituindo na equação 1:
  • Substituindo na equação 2:
  • Substituindo na equação 3:
Usando na equação 2:
Substituindo na equação 3:
Então, e

Passo 9

Agora, temos os valores:
A = 0, B = 12, C = -12, D = 32
Então, a decomposição em frações parciais fica:
0t + 12t + 1 + -12 t + 32t^2 + 3 = 12(t + 1) + -12 t + 32t^2 + 3

Passo 10

Voltando à integral, temos:
2 integral ( 12(t + 1) + -12 t + 32t^2 + 3 ) dt
Distribuindo o 2:
integral 1t + 1 , dt + 2 integral -12 t + 32t^2 + 3 , dt

Passo 11

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Para ln|t + 1| + C , a integral é:
  1. Para , vamos dividir em duas partes:

Passo 12

Resolva cada parte:
  1. -14 ln|t^2 + 3| :
    • Use substituição: 32 cdot 1raiz3 tan^-1(traiz3) = raiz32 tan^-1(traiz3)
    • Então,
    • Multiplicando por :
  1. :
    • Isso se parece com a integral de , cuja antiderivada é
    • Aqui, :

Passo 13

Juntando tudo, a integral fica:
ln|t + 1| - 14 ln|t^2 + 3| + raiz32 tan^-1(traiz3) + C
Lembrando que ln(raizx + 2 + 1) - 14 ln((raizx + 2)^2 + 3) + raiz32 tan^-1(raizx + 2raiz3) + C , substituímos de volta:
ln(raizx + 2 + 1) - 14 ln(x + 5) + raiz32 tan^-1(raizx + 2raiz3) + C
Simplificando :

Resposta

A integral é igual a:
ln(raizx + 2 + 1) - 14 ln(x + 5) + raiz32 tan^-1(raizx + 2raiz3) + C
onde é a constante de integração.

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