Utilize coordenadas cilíndricas para calcular , onde é delimitado pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas: . A região é delimitada pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre integrais em coordenadas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria cilíndrica como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
é a distância do ponto até o eixo ,
é o ângulo em relação ao eixo ,
é a altura do ponto.
A integral tripla em coordenadas cilíndricas tem a forma , onde o fator extra vem do jacobiano da mudança de coordenadas.
Passo 3
No nosso caso, a função a ser integrada é . Então, a integral fica:
Mas lembre-se do fator do jacobiano, então a integral correta em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
Para , ele varia de até (já que é o cilindro que delimita a região).
Para , como estamos em torno de todo o cilindro, varia de até .
Para , varia de até (os planos que limitam a altura).
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Passo 6
Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 4r^4 , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a integral0^2 4r^4 , dr = 4 cdot r^55 |0^2 = 45 cdot (32 - 0) = 1285 :
Passo 7
Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 1285 , dtheta = 1285 cdot theta |0^2pi = 1285 cdot 2pi = 256pi5 :