Utilize coordenadas cilíndricas para calcular integral triplaE r^3 d r d theta d z, onde E é delimitado pelo cilindro r=2 e pelos planos z=0 e z=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas: . A região é delimitada pelo cilindro e pelos planos e . Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre integrais em coordenadas cilíndricas, que são super úteis para regiões com simetria cilíndrica como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a altura do ponto.
A integral tripla em coordenadas cilíndricas tem a forma , onde o fator extra vem do jacobiano da mudança de coordenadas.

Passo 3

No nosso caso, a função a ser integrada é integral triplaE r^3 , dr , dtheta , dz . Então, a integral fica:
integral triplaE r^4 , dr , dtheta , dz
Mas lembre-se do fator do jacobiano, então a integral correta em coordenadas cilíndricas é:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração para cada coordenada:
  • Para integral0^2pi integral0^2 integral0^4 r^4 , dz , dr , dtheta , ele varia de até (já que é o cilindro que delimita a região).
  • Para , como estamos em torno de todo o cilindro, varia de até .
  • Para , varia de até (os planos que limitam a altura).
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^4 r^4 , dz = r^4 cdot z |0^4 = r^4 cdot 4 = 4r^4 :

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^2pi integral0^2 4r^4 , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a integral0^2 4r^4 , dr = 4 cdot r^55 |0^2 = 45 cdot (32 - 0) = 1285 :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 1285 , dtheta = 1285 cdot theta |0^2pi = 1285 cdot 2pi = 256pi5 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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