Resolva as integrais usando métodos adequados: integral cos ^4(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma fórmula de redução de potência que nos ajuda a simplificar potências de cosseno para integrais mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de redução para cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 :
Como temos , podemos reescrever isso como .

Passo 3

Aplicando a fórmula de redução:
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2
Então,
cos^4(2x) = (1 + cos(4x)2)^2 = 1 + 2cos(4x) + cos^2(4x)4

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral cos^4(2x) , dx = integral 1 + 2cos(4x) + cos^2(4x)4 , dx = 14 integral (1 + 2cos(4x) + cos^2(4x)) , dx

Passo 5

Vamos integrar termo a termo. Começando com cos^2(4x) = 1 + cos(8x)2 , usamos novamente a fórmula de redução:
14 integral (1 + 2cos(4x) + 1 + cos(8x)2) , dx = 14 integral (32 + 2cos(4x) + cos(8x)2) , dx
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integraremos cada termo:
14 [ 32x + 24sin(4x) + 116sin(8x) ] + C
Simplificando:
38x + sin(4x)8 + sin(8x)64 + C

Resposta

A integral de 38x + sin(4x)8 + sin(8x)64 + C é:

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