Calcule a integral tripla , onde é o cubo com vértices em e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla . O enunciado nos diz que é um cubo com vértices em e . Então, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas no espaço tridimensional, especificamente no cubo definido nesse intervalo. Para resolver, vamos precisar configurar os limites das integrais para , e , e depois integrar cada variável passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como o cubo vai de a , isso significa que:
  • varia de 0 a 1
  • Para cada , também varia de 0 a 1
  • E para cada , varia de 0 a 1
Então, nossa integral tripla fica assim:

Passo 3

Agora, vamos começar a integrar em relação a primeiro. Lembre-se que, ao integrar com respeito a uma variável, as outras são tratadas como constantes. Então, integramos em relação a de 0 a 1:
Substituindo os limites:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado obtido com respeito a de 0 a 1:
Substituindo os limites:

Passo 5

Por último, vamos integrar o resultado com respeito a de 0 a 1:
Substituindo os limites:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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