Calcule a integral tripla , onde é o cubo com vértices em e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla . O enunciado nos diz que é um cubo com vértices em e . Então, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas no espaço tridimensional, especificamente no cubo definido nesse intervalo. Para resolver, vamos precisar configurar os limites das integrais para , e , e depois integrar cada variável passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como o cubo vai de a , isso significa que:
varia de 0 a 1
Para cada , também varia de 0 a 1
E para cada , varia de 0 a 1
Então, nossa integral tripla fica assim:
Passo 3
Agora, vamos começar a integrar em relação a primeiro. Lembre-se que, ao integrar com respeito a uma variável, as outras são tratadas como constantes. Então, integramos em relação a de 0 a 1:
Substituindo os limites:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado obtido com respeito a de 0 a 1:
Substituindo os limites:
Passo 5
Por último, vamos integrar o resultado com respeito a de 0 a 1: