Calcule a integral tripla integral triplaE x^2+y^2+z^2 d V, onde E é o cubo com vértices em (0,0,0) e (1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla integral triplaE x^2+y^2+z^2 , dV. O enunciado nos diz que E é um cubo com vértices em (0,0,0) e (1,1,1). Então, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas no espaço tridimensional, especificamente no cubo definido nesse intervalo. Para resolver, vamos precisar configurar os limites das integrais para x, y e z, e depois integrar cada variável passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como o cubo vai de (0,0,0) a (1,1,1), isso significa que:
  • x varia de 0 a 1
  • Para cada x, y também varia de 0 a 1
  • E para cada y, z varia de 0 a 1
Então, nossa integral tripla fica assim:
integral0^1 integral0^1 integral0^1 (x^2 + y^2 + z^2) , dz , dy , dx

Passo 3

Agora, vamos começar a integrar em relação a z primeiro. Lembre-se que, ao integrar com respeito a uma variável, as outras são tratadas como constantes. Então, integramos x^2 + y^2 + z^2 em relação a z de 0 a 1:
integral0^1 (x^2 + y^2 + z^2) , dz = x^2 cdot z + y^2 cdot z + z^33 gr|0^1
Substituindo os limites:
= x^2(1) + y^2(1) + 1^33 - [x^2(0) + y^2(0) + 0^33] = x^2 + y^2 + 13

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado obtido com respeito a y de 0 a 1:
integral0^1 ( x^2 + y^2 + 13 ) , dy = x^2 cdot y + y^33 + 13 cdot y gr|0^1
Substituindo os limites:
= x^2(1) + 1^33 + 13(1) - [x^2(0) + 0^33 + 13(0)] = x^2 + 13 + 13 = x^2 + 23

Passo 5

Por último, vamos integrar o resultado com respeito a x de 0 a 1:
integral0^1 ( x^2 + 23 ) , dx = x^33 + 23x gr|0^1
Substituindo os limites:
= 1^33 + 23(1) - [ 0^33 + 23(0) ] = 13 + 23 = 1

Resposta

O valor da integral tripla é 1.

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