Resolva as integrais usando métodos adequados: integral tan ^3(x) cos (x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral tan^3(x) cos (x) , dx. Para isso, vamos usar técnicas de integração que envolvem substituição trigonométrica e simplificação de expressões. Precisaremos manipular identidades trigonométricas e escolher uma substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^3(x) em termos de seno e cosseno. Sabemos que tan(x) = sin(x)cos(x), então:
tan^3(x) = ( sin(x)cos(x) )^3 = sin^3(x)cos^3(x)
Multiplicando por cos(x), temos:
tan^3(x) cos(x) = sin^3(x)cos^3(x) cdot cos(x) = sin^3(x)cos^2(x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão sin^3(x)cos^2(x). Podemos escrever sin^3(x) como sin(x) cdot sin^2(x). Sabemos que sin^2(x) = 1 - cos^2(x) (uma identidade trigonométrica). Então:
sin^3(x)cos^2(x) = sin(x) cdot (1 - cos^2(x))cos^2(x) = sin(x)cos^2(x) - sin(x)

Passo 4

Agora, temos a integral dividida em duas partes:
integral tan^3(x) cos(x) , dx = integral ( sin(x)cos^2(x) ) dx - integral sin(x) , dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Para resolver integral sin(x)cos^2(x) , dx, vamos fazer uma substituição. Seja u = cos(x). Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -sin(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx
Isso significa que sin(x) , dx = -du. Substituindo na integral:
integral sin(x)cos^2(x) , dx = integral -duu^2 = -integral u^-2 , du

Passo 6

Integrando - integral u^-2 , du:
- integral u^-2 , du = - ( u^-1-1 ) + C = 1u + C
Substituindo u = cos(x) de volta:
1cos(x) + C = sec(x) + C

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral - integral sin(x) , dx:
- integral sin(x) , dx = - (-cos(x)) + C = cos(x) + C

Passo 8

Juntando as duas partes que integramos:
integral tan^3(x) cos(x) , dx = sec(x) + cos(x) + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral tan^3(x) cos(x) , dx é igual a sec(x) + cos(x) + C, onde C é a constante de integração.

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