Resolva as integrais usando métodos adequados: integral d xsin (x)-cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e frações parciais. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e de como manipular expressões algébricas para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador integral dxsin(x) - cos(x) = integral sin(x) + cos(x)(sin(x) - cos(x))(sin(x) + cos(x)) dx . Uma maneira de fazer isso é multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada para racionalizar:

Passo 3

Simplificando o denominador usando a identidade trigonométrica integral sin(x) + cos(x)-cos(2x) dx = -integral sin(x) + cos(x)cos(2x) dx :

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição para facilitar a integral. Seja sin(x) = 2u1 + u^2, cos(x) = 1 - u^21 + u^2, dx = 2 du1 + u^2 . Com essa substituição, temos:

Passo 5

Substituindo essas expressões na integral:
-integral 2u1 + u^2 + 1 - u^21 + u^21 - u^4(1 + u^2)^2 cdot 2 du1 + u^2
Simplificando:
-2 integral 2u + 1 - u^21 - u^4 du = -2 integral (u +1)(1 - u)(1 - u^2)(1 + u^2) du

Passo 6

Fatorando o denominador:
1 - u^4 = (1 - u^2)(1 + u^2)
Portanto, a integral fica:
-2 integral (u +1)(1 - u)(1 - u^2)(1 + u^2) du = -2 integral (u +1)(1 - u)(1 - u)(1 + u)(1 + u^2) du
Cancelando os fatores comuns -2 integral 11 + u^2 du e :

Passo 7

Integrando:
-2 arctan(u) + C
Substituindo -2 arctan(tan(x2)) + C :
-2 cdot x2 + C = -x + C
Simplificando , temos:

Resposta

A integral integral dxsin(x) - cos(x) = -x + C é igual a , onde é a constante de integração.

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