b) Resolva o problema de valor inicial
dQ/dt = 6 - (2Q)/(500 + t), Q(0) = 100

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com um valor inicial:
dQ/dt = 6 - (2Q)/(500 + t), Q(0) = 100
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolvem encontrar um fator integrante para simplificar a equação.

Passo 2

Vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, encontramos o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Então:

Passo 6

Resolvemos para :

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Simplificando:
Subtraindo 1000 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 250000:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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