b) Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com um valor inicial:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial. Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de primeira ordem, que envolvem encontrar um fator integrante para simplificar a equação.
Passo 2
Vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, encontramos o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Então:
Passo 6
Resolvemos para
:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Simplificando:
Subtraindo 1000 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por 250000:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: