Resolva a integral integral 2 x+1x^2+x+1 d x aplicando a substituição u=x^2+x+1.
Reverta a substituição para obter a resposta final.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral usando uma substituição específica: . Para isso, vamos utilizar a técnica de substituição em integrais, que ajuda a simplificar expressões complicadas tornando a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa substituição:
u = x^2 + x + 1
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x + 1 em relação a du = (2x + 1) , dx para substituir o diferencial dx = du2x + 1 . Calculando:
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 3

Observamos que no numerador da nossa integral temos exatamente integral 2x + 1x^2 + x + 1 , dx = integral duu , que já aparece na expressão de . Isso é ótimo porque permite que substituamos toda a expressão em termos de . Vamos reescrever a integral com essas substituições:
Aqui, o vira devido à nossa substituição.

Passo 4

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral duu
Sabemos que a integral de integral duu = ln|u| + C em relação a é o logaritmo natural de . Portanto:
Onde é a constante de integração que não podemos esquecer.

Passo 5

Por fim, precisamos voltar à variável original u = x^2 + x + 1 substituindo ln|u| + C = ln|x^2 + x + 1| + C de volta. Lembrando que:
Então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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