Resolva a integral aplicando a substituição .
Reverta a substituição para obter a resposta final.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral usando uma substituição específica: . Para isso, vamos utilizar a técnica de substituição em integrais, que ajuda a simplificar expressões complicadas tornando a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa substituição:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o diferencial . Calculando:
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 3

Observamos que no numerador da nossa integral temos exatamente , que já aparece na expressão de . Isso é ótimo porque permite que substituamos toda a expressão em termos de . Vamos reescrever a integral com essas substituições:
Aqui, o vira devido à nossa substituição.

Passo 4

Agora, a integral ficou bem mais simples:
Sabemos que a integral de em relação a é o logaritmo natural de . Portanto:
Onde é a constante de integração que não podemos esquecer.

Passo 5

Por fim, precisamos voltar à variável original substituindo de volta. Lembrando que:
Então:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva a integral aplicando a substituição .
Realize a integração em termos de .
Resolva a integral aplicando a substituição .
Calcule a derivada de em relação a .
Calcule a integral usando a técnica de integração por partes.
Escolha e
Resolva a integral aplicando integração por partes.
Aplique a fórmula de integração por partes.