Resolva a integral
aplicando a substituição
.
Reverta a substituição para obter a resposta final.
Reverta a substituição para obter a resposta final.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral
usando uma substituição específica:
. Para isso, vamos utilizar a técnica de substituição em integrais, que ajuda a simplificar expressões complicadas tornando a integral mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa substituição:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o diferencial
. Calculando:
Isso significa que:
Ou seja:
Passo 3
Observamos que no numerador da nossa integral temos exatamente
, que já aparece na expressão de
. Isso é ótimo porque permite que substituamos toda a expressão em termos de
. Vamos reescrever a integral com essas substituições:
Aqui, o
vira
devido à nossa substituição.
Passo 4
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Sabemos que a integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
. Portanto:
Onde
é a constante de integração que não podemos esquecer.
Passo 5
Por fim, precisamos voltar à variável original
substituindo
de volta. Lembrando que:
Então:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva a integral
aplicando a substituição
.
Realize a integração em termos de .
Realize a integração em termos de
Resolva a integral
aplicando a substituição
.
Calcule a derivada de em relação a
.
Calcule a derivada de
Calcule a integral
usando a técnica de integração por partes.
Escolha e
Escolha
Resolva a integral
aplicando integração por partes.
Aplique a fórmula de integração por partes.
Aplique a fórmula de integração por partes.