Resolva a integral integral 2 x+1x^2+x+1 d x aplicando a substituição u=x^2+x+1.
Realize a integração em termos de u.

Passo 1

Beleza, temos a integral . Vamos resolver isso usando o método de substituição, que é uma técnica legal para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir:
u = x^2 + x + 1
Isso significa que estamos substituindo o denominador por , o que deve facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x + 1 em relação a du = (2x + 1) , dx para substituir o na integral. Calculando a derivada:
Então, podemos reescrever isso como:

Passo 4

Observamos que o numerador da nossa integral, integral 2x + 1x^2 + x + 1 , dx = integral duu , é exatamente . Então, podemos substituir na integral:
Agora, a integral está em termos de , que é muito mais simples de resolver.

Passo 5

A integral integral duu = ln|u| + C é uma integral básica que resulta no logaritmo natural de mais a constante de integração :

Resposta

Voltando à variável original integral 2x + 1x^2 + x + 1 , dx = ln|x^2 + x + 1| + C , substituímos por :

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