Calcule a integral integral x e^x d x usando a técnica de integração por partes.
Escolha u e d v

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Essa técnica é muito útil quando a integral é produto de duas funções, e a gente consegue separar de uma maneira que facilite a resolução. Para isso, precisamos escolher duas partes: e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = x e dv = e^x ,dx e . Uma boa estratégia é escolher como a função que fica mais simples quando derivada, e como a parte que é fácil de integrar. Aqui, vamos escolher:
Assim, vamos precisar calcular e .

Passo 3

Calculando du = ddx(x) ,dx = 1 ,dx e v = integral e^x ,dx = e^x :
Agora que temos , , e , podemos aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 4

A fórmula da integração por partes é:
integral u ,dv = uv - integral v ,du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x e^x ,dx = x e^x - integral e^x cdot 1 ,dx
Agora, vamos resolver a integral que sobrou.

Passo 5

A integral integral e^x ,dx = e^x + C é bem direta:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral x e^x ,dx = x e^x - e^x + C
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 7

Fatorando integral x e^x ,dx = e^x(x - 1) + C :

Resposta

integral x e^x ,dx = e^x(x - 1) + C

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