Escreva expressões para a área delimitada pela curva em termos da integral de linha em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever expressões para a área delimitada por uma curva usando uma integral de linha ao redor de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente relacionado ao Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar uma integral de linha com a área que a curva envolve.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de integrar ao longo de uma curva no plano. No nosso caso, queremos relacionar essa integral com a área dentro de .

Passo 3

Aqui entra o Teorema de Green, que faz uma ponte entre integrais de linha e integrais duplas (que calculam áreas). O teorema diz que, para uma curva fechada e suficientemente lisa, a integral de linha de ao redor de é igual à integral dupla sobre a região limitada por de .

Passo 4

Para encontrar a área da região delimitada por , podemos escolher funções e de forma que . Uma escolha comum é e . Assim, temos:
Então:

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green com essas escolhas de e , a integral de linha fica:
Esse jeito de escrever a área em termos de uma integral de linha ao redor da curva é muito útil em várias aplicações de física e engenharia.

Resposta

A área delimitada pela curva pode ser expressa pela integral de linha:

Exercícios relacionados

Converta o ponto cartesiano para coordenadas polares.
Resolva .
Escreva a definição da integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície .
Determine o comprimento da curva para .