Escreva expressões para a área delimitada pela curva
em termos da integral de linha em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever expressões para a área delimitada por uma curva
usando uma integral de linha ao redor de
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente relacionado ao Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar uma integral de linha com a área que a curva envolve.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de integrar ao longo de uma curva
no plano. No nosso caso, queremos relacionar essa integral com a área dentro de
.
Passo 3
Aqui entra o Teorema de Green, que faz uma ponte entre integrais de linha e integrais duplas (que calculam áreas). O teorema diz que, para uma curva
fechada e suficientemente lisa, a integral de linha de
ao redor de
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de
.
Passo 4
Para encontrar a área
da região
delimitada por
, podemos escolher funções
e
de forma que
. Uma escolha comum é
e
. Assim, temos:
Então:
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green com essas escolhas de
e
, a integral de linha fica:
Esse jeito de escrever a área em termos de uma integral de linha ao redor da curva
é muito útil em várias aplicações de física e engenharia.
Resposta
A área delimitada pela curva
pode ser expressa pela integral de linha:
Exercícios relacionados
Converta o ponto cartesiano
para coordenadas polares.
Resolva
.
Escreva a definição da integral de superfície de uma função escalar
sobre uma superfície
.
Determine o comprimento da curva
para
.