Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(d) Determine um fator integrante da forma
para a equação
e resolva-a.
(d) Determine um fator integrante da forma
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que temos aqui. Queremos resolver a equação diferencial:
Para isso, precisamos encontrar um fator integrante da forma
que torne essa equação exata. Depois, usaremos esse fator para resolver a equação. Vamos precisar entender um pouco sobre equações exatas e fatores integrantes para seguir em frente.
Passo 2
Vamos assumir que o fator integrante tem a forma
. Multiplicando toda a equação por esse fator, ficamos com:
Simplificando, obtemos:
Passo 3
Para que essa nova equação seja exata, a derivada parcial de
em relação a
deve ser igual à derivada parcial de
em relação a
, onde:
e
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Primeiro, expandimos
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Calculando
:
Primeiro, expandimos
:
Derivando em relação a
:
Usamos a regra do produto para
:
Simplificando:
Passo 6
Para que a equação seja exata, igualamos as duas derivadas:
Podemos cancelar
de ambos os lados:
Para que essa igualdade valha para todo
e
, os coeficientes dos termos independentes e dos termos com
devem ser iguais.
Observamos que o lado direito depende de
. Para eliminar essa dependência, o coeficiente de
deve ser zero:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para os termos constantes:
Confirmamos que
satisfaz ambas as equações.
Passo 8
Então, encontramos os valores de
e
:
Portanto, o fator integrante é:
Resposta
O fator integrante encontrado é
. Multiplicando a equação original por esse fator, a equação se torna exata e pode ser integrada diretamente. A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(f)
(f)
Encontre
.
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.