Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(d) Determine um fator integrante da forma para a equação
e resolva-a.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que temos aqui. Queremos resolver a equação diferencial:
Para isso, precisamos encontrar um fator integrante da forma que torne essa equação exata. Depois, usaremos esse fator para resolver a equação. Vamos precisar entender um pouco sobre equações exatas e fatores integrantes para seguir em frente.

Passo 2

Vamos assumir que o fator integrante tem a forma . Multiplicando toda a equação por esse fator, ficamos com:
Simplificando, obtemos:

Passo 3

Para que essa nova equação seja exata, a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a , onde:
e
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Primeiro, expandimos :
Derivando em relação a :

Passo 5

Calculando :
Primeiro, expandimos :
Derivando em relação a :
Usamos a regra do produto para :
Simplificando:

Passo 6

Para que a equação seja exata, igualamos as duas derivadas:
Podemos cancelar de ambos os lados:
Para que essa igualdade valha para todo e , os coeficientes dos termos independentes e dos termos com devem ser iguais.
Observamos que o lado direito depende de . Para eliminar essa dependência, o coeficiente de deve ser zero:

Passo 7

Agora, substituímos na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para os termos constantes:
Confirmamos que satisfaz ambas as equações.

Passo 8

Então, encontramos os valores de e :
Portanto, o fator integrante é:

Resposta

O fator integrante encontrado é . Multiplicando a equação original por esse fator, a equação se torna exata e pode ser integrada diretamente. A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(f)
Encontre .
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.