Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Riccati da forma
e uma solução particular
. Nosso objetivo é mostrar que
realmente satisfaz essa equação e, depois, encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é uma solução. Para isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Simplificando:
Como a igualdade é verdadeira,
realmente é uma solução da equação.
Passo 4
Para encontrar a solução geral da equação de Riccati, vamos usar a solução particular
. A ideia é fazer uma substituição que simplifique a equação.
Vamos assumir que a solução geral tem a forma:
onde
é uma função de
que vamos determinar. Substituindo
na equação original:
Calculando a derivada:
Substituindo na equação e simplificando, conseguimos uma equação linear para
, que resolvemos para encontrar
, e então obter
.
Após os cálculos, a solução geral fica:
onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
(b) ;
(b)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(d) Determine um fator integrante da forma para a equação
(d) Determine um fator integrante da forma
e resolva-a.