Mostre que y1 é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(f) y' - 1 - x^2 + 2xy - y^2 = 0, y1 = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Riccati da forma e uma solução particular . Nosso objetivo é mostrar que realmente satisfaz essa equação e, depois, encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é uma solução. Para isso, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, .
Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original:
Simplificando:
Como a igualdade é verdadeira, realmente é uma solução da equação.

Passo 4

Para encontrar a solução geral da equação de Riccati, vamos usar a solução particular . A ideia é fazer uma substituição que simplifique a equação.
Vamos assumir que a solução geral tem a forma:
onde é uma função de que vamos determinar. Substituindo na equação original:
Calculando a derivada:
Substituindo na equação e simplificando, conseguimos uma equação linear para , que resolvemos para encontrar , e então obter .
Após os cálculos, a solução geral fica:
onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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