Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: , onde e . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais ordinárias, especificamente do tipo separável. Isso significa que a gente consegue separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de maneira que todas as expressões com fiquem de um lado e as de do outro. Assim, temos:
Podemos rearranjar para:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é integrar ambos os lados dessa equação. Mas antes, vamos simplificar o lado esquerdo. Podemos fatorar no denominador:

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:

Passo 5

Agora, vamos determinar os valores de e . Comparando os coeficientes, temos:
Para :
Para :
E para o termo constante:
Percebi que houve uma contradição, então precisamos ajustar nossa abordagem. Na verdade, a fração parcial correta seria:

Passo 6

Agora, integraremos cada termo separadamente:
Integrando o primeiro termo:
E integrando o segundo termo, fazemos uma substituição , :

Passo 7

Juntando as integrações, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Para simplificar, podemos multiplicar toda a expressão por :
Onde .

Passo 9

Podemos combinar os logaritmos:
Elevando ambos os lados como potência de :
Onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(f)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(d) Determine um fator integrante da forma para a equação
e resolva-a.
Encontre .