Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
, onde
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais ordinárias, especificamente do tipo separável. Isso significa que a gente consegue separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de maneira que todas as expressões com
fiquem de um lado e as de
do outro. Assim, temos:
Podemos rearranjar para:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é integrar ambos os lados dessa equação. Mas antes, vamos simplificar o lado esquerdo. Podemos fatorar
no denominador:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos determinar os valores de
e
. Comparando os coeficientes, temos:
Para
:
Para
:
E para o termo constante:
Percebi que houve uma contradição, então precisamos ajustar nossa abordagem. Na verdade, a fração parcial correta seria:
Passo 6
Agora, integraremos cada termo separadamente:
Integrando o primeiro termo:
E integrando o segundo termo, fazemos uma substituição
,
:
Passo 7
Juntando as integrações, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para simplificar, podemos multiplicar toda a expressão por
:
Onde
.
Passo 9
Podemos combinar os logaritmos:
Elevando ambos os lados como potência de
:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(f)
(f)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(d) Determine um fator integrante da forma para a equação
(d) Determine um fator integrante da forma
e resolva-a.
Encontre
.