Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação: 人े)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de um valor específico. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e álgebra para simplificar a expressão, especialmente se encontrarmos uma indeterminação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite. Quando dizemos
, queremos saber qual valor a função
se aproxima quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos substituir
pelo valor que ela se aproxima. No nosso caso, parece que
está se aproximando de 5 (já que o denominador se torna zero quando
). Então, substituindo 5 na expressão:
Passo 4
Aqui, vemos que tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero quando
. Isso é uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 5
Vamos fatorar o numerador. A expressão
é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada da seguinte forma:
Passo 6
Agora, reescrevemos a fração com o numerador fatorado:
Passo 7
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm um termo
. Podemos tentar fatorar o denominador para simplificar a expressão. Se assumirmos que
é tal que
pode ser fatorado, por exemplo:
No entanto, para que
seja um fator do denominador, precisaríamos que
, o que implica
.
Passo 8
Assumindo que
, temos:
Podemos cancelar o termo
no numerador e denominador:
Passo 9
Agora, substituímos
por 5 na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a 10.
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Existe um número real
tal que
Exista? Caso sim, determine o valor de
e do limite.
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação: 今人)
令全 -7
令全 -7
Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros: 々々)
Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros: 人