Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros: 人
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que usando a definição de limite. Isso está relacionado ao conteúdo de limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar isso ao nosso caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que se, para todo número positivo , existe um número positivo tal que, sempre que , então . Basicamente, vamos mostrar que podemos fazer ficar tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .
Passo 3
No nosso caso, , e . Queremos provar que para todo , existe um tal que se , então .
Passo 4
Vamos começar calculando |12x^2 - 2|:
|12x^2 - 2| = 12 |x^2 - 4| = 12 |x - 2||x + 2|
Passo 5
Agora, queremos que isso seja menor que varepsilon:
12 |x - 2||x + 2| < varepsilon
Para facilitar, vamos controlar |x + 2|. Se conseguirmos limitar |x - 2|, podemos limitar |x + 2|.
Passo 6
Vamos supor que |x - 2| < 1. Então, x está no intervalo (1, 3), porque:
Então, para garantir ambas as condições (|x - 2| < 1 e |x - 2| < 2varepsilon5), escolhemos de como o mínimo desses dois valores:
de
Resposta
Portanto, para todo varepsilon > 0, escolhemos de. Assim, sempre que 0 < |x - 2| < de, temos |12x^2 - 2| < varepsilon. Portanto, limx to 2 (12x^2 - 2) = 0 está provado.