Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros: 人 lim >(12(2)-2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que limx to 2 (12x^2 - 2) = 0 usando a definição de limite. Isso está relacionado ao conteúdo de limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar isso ao nosso caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que limx to a f(x) = L se, para todo número positivo varepsilon, existe um número positivo de tal que, sempre que 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < varepsilon. Basicamente, vamos mostrar que podemos fazer f(x) ficar tão perto de L quanto quisermos, escolhendo x suficientemente próximo de a.

Passo 3

No nosso caso, f(x) = 12x^2 - 2, a = 2 e L = 0. Queremos provar que para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que se 0 < |x - 2| < de, então |12x^2 - 2| < varepsilon.

Passo 4

Vamos começar calculando |12x^2 - 2|:
|12x^2 - 2| = 12 |x^2 - 4| = 12 |x - 2||x + 2|

Passo 5

Agora, queremos que isso seja menor que varepsilon:
12 |x - 2||x + 2| < varepsilon
Para facilitar, vamos controlar |x + 2|. Se conseguirmos limitar |x - 2|, podemos limitar |x + 2|.

Passo 6

Vamos supor que |x - 2| < 1. Então, x está no intervalo (1, 3), porque:
2 - 1 < x < 2 + 1 Rightarrow 1 < x < 3
Assim, podemos estimar |x + 2|:
|x + 2| < 3 + 2 = 5

Passo 7

Voltando à desigualdade principal:
12 |x - 2||x + 2| < 12 times 5 times |x - 2| = 52 |x - 2| < varepsilon
Para que isso seja verdade, basta que:
52 |x - 2| < varepsilon Rightarrow |x - 2| < 2varepsilon5

Passo 8

Então, para garantir ambas as condições ( |x - 2| < 1 e |x - 2| < 2varepsilon5), escolhemos de como o mínimo desses dois valores:
de

Resposta

Portanto, para todo varepsilon > 0, escolhemos de. Assim, sempre que 0 < |x - 2| < de, temos |12x^2 - 2| < varepsilon. Portanto, limx to 2 (12x^2 - 2) = 0 está provado.

Exercícios relacionados