Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros: 人
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que usando a definição de limite. Isso está relacionado ao conteúdo de limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar isso ao nosso caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que se, para todo número positivo , existe um número positivo tal que, sempre que , então . Basicamente, vamos mostrar que podemos fazer ficar tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .
Passo 3
No nosso caso, , e . Queremos provar que para todo , existe um tal que se , então .
Passo 4
Vamos começar calculando :
Passo 5
Agora, queremos que isso seja menor que :
Para facilitar, vamos controlar . Se conseguirmos limitar , podemos limitar .
Passo 6
Vamos supor que . Então, está no intervalo , porque:
Assim, podemos estimar :
Passo 7
Voltando à desigualdade principal:
Para que isso seja verdade, basta que:
Passo 8
Então, para garantir ambas as condições ( e ), escolhemos como o mínimo desses dois valores:
Resposta
Portanto, para todo , escolhemos . Assim, sempre que , temos . Portanto, está provado.