Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros: 人

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que usando a definição de limite. Isso está relacionado ao conteúdo de limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender a definição formal de limite e aplicar isso ao nosso caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que se, para todo número positivo , existe um número positivo tal que, sempre que , então . Basicamente, vamos mostrar que podemos fazer ficar tão perto de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

No nosso caso, , e . Queremos provar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos começar calculando :

Passo 5

Agora, queremos que isso seja menor que :
Para facilitar, vamos controlar . Se conseguirmos limitar , podemos limitar .

Passo 6

Vamos supor que . Então, está no intervalo , porque:
Assim, podemos estimar :

Passo 7

Voltando à desigualdade principal:
Para que isso seja verdade, basta que:

Passo 8

Então, para garantir ambas as condições ( e ), escolhemos como o mínimo desses dois valores:

Resposta

Portanto, para todo , escolhemos . Assim, sempre que , temos . Portanto, está provado.

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