Use a definição de limite para provar que os limites abaixo são verdadeiros: 々々) lim diamond -2(4 diamond-5)=-13

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a definição de limite para provar que lim x -2(4x -5) = -13. Isso envolve entender o que é limite na matemática e como aplicar a definição formal para demonstrar que, à medida que x se aproxima de -2, a expressão 4x -5 realmente se aproxima de -13.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de limite. Dizemos que lim x a f(x) = L se, para todo epsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que 0 < |x - a| < de, então |f(x) - L| < epsilon. Em palavras, isso significa que podemos fazer f(x) ficar tão perto de L quanto quisermos, escolhendo x suficientemente perto de a.

Passo 3

No nosso caso, f(x) = 4x -5, a = -2 e L = -13. Queremos mostrar que para qualquer epsilon > 0, conseguimos encontrar um de que faz com que, se x estiver dentro de de unidades de -2 (mas diferente de -2), então 4x -5 estará dentro de epsilon unidades de -13.

Passo 4

Vamos começar calculando |f(x) - L|:
|f(x) - L| = |(4x -5) - (-13)| = |4x -5 +13| = |4x +8|
Podemos fatorar o 4:
|4x +8| = 4|x +2|
Queremos que 4|x +2| < epsilon. Para isso, podemos garantir que |x +2| < epsilon4.

Passo 5

Então, escolhemos de. Assim, sempre que 0 < |x - (-2)| = |x +2| < de, teremos:
|f(x) - L| = 4|x +2| < 4 times epsilon4 = epsilon
Isso satisfaz a definição de limite!

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que lim x -2(4x -5) = -13.

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