Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
y'' + y' - 2y = 2x ; y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E condições iniciais:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, precisamos entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar soluções para a parte homogênea e para a parte particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma , onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que determinaremos mais tarde.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau ( ), podemos assumir que a solução particular também será um polinômio de primeiro grau. Vamos tentar:
Onde A e B são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Derivando :
Substituindo , , e na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:

Passo 8

Portanto, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, quando :
Então:
çã

Passo 11

Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicando :
Então:
çã

Passo 12

Resolvemos o sistema de Equações 1 e 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Resposta

A solução geral da equação diferencial, satisfazendo as condições iniciais, é:

Exercícios relacionados