Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E condições iniciais:
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, precisamos entender como resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar soluções para a parte homogênea e para a parte particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinaremos mais tarde.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (
), podemos assumir que a solução particular também será um polinômio de primeiro grau. Vamos tentar:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Derivando
:
Substituindo
,
, e
na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Igualando os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 8
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, quando
:
Então:
Passo 11
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicando
:
Então:
Passo 12
Resolvemos o sistema de Equações 1 e 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução geral da equação diferencial, satisfazendo as condições iniciais, é: