Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
y'' - 2y' + y = x e^x + 4 ; y(0) = 1, y'(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
O conteúdo que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções bem conhecidas, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Para resolver isso, precisamos:
  • Resolver a equação homogênea associada.
  • Encontrar uma solução particular para a equação completa.
  • Juntar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve isso encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica fica assim:
Resolvendo essa equação quadrática, a gente usa a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla: .

Passo 4

Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se necessário.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A gente divide isso em duas partes: e . Vamos achar soluções particulares para cada uma e depois somar.

Passo 6

Para o termo , já que é parte da solução homogênea, precisamos multiplicar por novamente para não repetir as soluções. Então, vamos supor uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação, resolvemos para encontrar e .
Para o termo constante , a solução particular será uma constante, digamos . Substituindo na equação, encontramos .

Passo 7

Somando as soluções particulares:
Após resolver as constantes e , que ficam e , temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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