Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
O conteúdo que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções bem conhecidas, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Para resolver isso, precisamos:
- Resolver a equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular para a equação completa.
- Juntar tudo para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve isso encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica fica assim:
Resolvendo essa equação quadrática, a gente usa a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla:
.
Passo 4
Com uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se necessário.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A gente divide isso em duas partes:
e
. Vamos achar soluções particulares para cada uma e depois somar.
Passo 6
Para o termo
, já que
é parte da solução homogênea, precisamos multiplicar por
novamente para não repetir as soluções. Então, vamos supor uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação, resolvemos para encontrar
e
.
Para o termo constante
, a solução particular será uma constante, digamos
. Substituindo na equação, encontramos
.
Passo 7
Somando as soluções particulares:
Após resolver as constantes
e
, que ficam
e
, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: