Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado pede para resolver usando o método dos coeficientes indeterminados e encontrar a solução geral da equação:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com uma equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (solução complementar) e uma solução particular.
O que vamos precisar:
- Encontrar a solução da equação homogênea associada.
- Encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados.
- Somar as soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução homogênea, substituímos
por
, onde
é uma constante a ser determinada. Assim, a equação característica é:
Fatorando a equação:
Portanto, as raízes são:
Passo 3
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução complementar (solução geral da equação homogênea):
Explicação: Cada raiz da equação característica corresponde a uma parte da solução:
- As raízes reais repetidas
dão os termos e . - As raízes complexas
dão os termos e .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em assumir uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes substituindo na equação original.
Vamos dividir a equação em duas partes:
- Parte polinomial:
- Parte trigonométrica:
Passo 5
Para a parte polinomial (
):
Assumimos uma solução particular da forma:
Explicação: Como o termo
não está presente na solução complementar, não há necessidade de multiplicar por
. Escolhemos um polinômio de grau igual ao do lado direito.
Conteúdo da teoria: A forma do polinômio na solução particular deve corresponder ao polinômio do lado direito da equação. Se houver termos que já estão na solução complementar, multiplicamos por
para evitar soluções triviais.
Passo 6
Para a parte trigonométrica (
):
Como
e
já fazem parte da solução complementar, precisamos multiplicar por
para obter uma solução particular independente. Portanto, assumimos:
Explicação: Multiplicamos por
para garantir que a solução particular seja linearmente independente da solução complementar.
Passo 7
Agora, combinamos as soluções particulares:
Passo seguinte: Substituiremos
e suas derivadas na equação original para determinar os coeficientes
,
,
,
e
.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Quarta derivada:
Para simplificar, notamos que termos de ordem superior vão se anular, então focamos apenas na segunda derivada.
Para simplificar, notamos que termos de ordem superior vão se anular, então focamos apenas na segunda derivada.
Passo 9
Substituímos
na equação original:
Após simplificações, igualamos os coeficientes dos termos similares para resolver os valores de
,
,
,
e
.
Passo 10
Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
,
e
são constantes arbitrárias.
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c) Encontre a solução geral da equação linear resultante do item (b).
c) Encontre a solução geral
Nos seguintes exercícios, encontre
e
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Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
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