Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
y^(4) + y'' = 3x^2 + 4 sen x - 2 cos x.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado pede para resolver usando o método dos coeficientes indeterminados e encontrar a solução geral da equação:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com uma equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (solução complementar) e uma solução particular.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar a solução da equação homogênea associada.
  2. Encontrar uma solução particular para a equação não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados.
  3. Somar as soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução homogênea, substituímos y por , onde r é uma constante a ser determinada. Assim, a equação característica é:
Fatorando a equação:
Portanto, as raízes são:

Passo 3

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução complementar (solução geral da equação homogênea):
Explicação: Cada raiz da equação característica corresponde a uma parte da solução:
  • As raízes reais repetidas dão os termos C1 e .
  • As raízes complexas dão os termos e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em assumir uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e determinar esses coeficientes substituindo na equação original.
Vamos dividir a equação em duas partes:
  1. Parte polinomial:
  2. Parte trigonométrica:

Passo 5

Para a parte polinomial ( ):
Assumimos uma solução particular da forma:
Explicação: Como o termo x^2 não está presente na solução complementar, não há necessidade de multiplicar por x. Escolhemos um polinômio de grau igual ao do lado direito.
Conteúdo da teoria: A forma do polinômio na solução particular deve corresponder ao polinômio do lado direito da equação. Se houver termos que já estão na solução complementar, multiplicamos por x para evitar soluções triviais.

Passo 6

Para a parte trigonométrica ( ):
Como cos(x) e sen x já fazem parte da solução complementar, precisamos multiplicar por x para obter uma solução particular independente. Portanto, assumimos:
Explicação: Multiplicamos por x para garantir que a solução particular seja linearmente independente da solução complementar.

Passo 7

Agora, combinamos as soluções particulares:
Passo seguinte: Substituiremos yp(x) e suas derivadas na equação original para determinar os coeficientes A, B, C, D e E.

Passo 8

Vamos calcular as derivadas necessárias de yp(x):
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Quarta derivada:
Para simplificar, notamos que termos de ordem superior vão se anular, então focamos apenas na segunda derivada.

Passo 9

Substituímos na equação original:
Após simplificações, igualamos os coeficientes dos termos similares para resolver os valores de A, B, C, D e E.

Passo 10

Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias.

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