Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
c) Encontre a solução geral da equação linear resultante do item (b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a solução geral de uma equação linear que surgiu no item anterior. Estamos trabalhando com equações diferenciais, mais especificamente com a Equação de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é uma equação linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
Aqui, e são funções conhecidas de , e é a função que queremos encontrar.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 4

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Esse é a solução geral da equação linear que obtivemos no item anterior.

Resposta

A solução geral da equação linear é:
onde
e é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Nos seguintes exercícios, encontre e .
©
Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
.