Equação de Bernoulli: Algumas vezes é possível resolver uma equação não-linear fazendo-se uma mudança na variável dependente de forma a transformar a equação em uma equação linear. Um exemplo importante da aplicação dessa técnica se observa em equações da forma
Este tipo de equação é chamada equação de Bernoulli. Os problemas que seguem dão as diretrizes para resolver uma equação de Bernoulli qualquer.
c) Encontre a solução geral
da equação linear resultante do item (b).
c) Encontre a solução geral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a solução geral
de uma equação linear que surgiu no item anterior. Estamos trabalhando com equações diferenciais, mais especificamente com a Equação de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares de primeira ordem e o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é uma equação linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
Aqui,
e
são funções conhecidas de
, e
é a função que queremos encontrar.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para facilitar a resolução.
Passo 4
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Para encontrar
, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Esse é a solução geral da equação linear que obtivemos no item anterior.
Resposta
A solução geral
da equação linear é:
onde
e
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos seguintes exercícios, encontre
e
.
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Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
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