Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. O problema que temos é:
A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e a técnica dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Precisaremos conhecer as soluções da equação homogênea associada e depois ajustar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, achamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são complexas e conjugadas. A solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A parte não homogênea é . Pela técnica dos coeficientes indeterminados, vamos supor uma solução na forma:
Mas percebemos que e já estão na solução homogênea. Por isso, precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicidade. Então, ajustamos nossa suposição para:

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo , e na equação original e igualando os coeficientes, obtemos um sistema de equações para e . Após resolver esse sistema, encontramos:
Então, a solução particular fica:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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.
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.
Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse em torno do eixo .
Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que é função apenas da razão ).
j)
5 - Resolva:
a)