Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. O problema que temos é:
A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e a técnica dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular. Precisaremos conhecer as soluções da equação homogênea associada e depois ajustar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, achamos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são complexas e conjugadas. A solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
A parte não homogênea é
. Pela técnica dos coeficientes indeterminados, vamos supor uma solução na forma:
Mas percebemos que
e
já estão na solução homogênea. Por isso, precisamos multiplicar nossa suposição por
para evitar duplicidade. Então, ajustamos nossa suposição para:
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação original e igualando os coeficientes, obtemos um sistema de equações para
e
. Após resolver esse sistema, encontramos:
Então, a solução particular fica:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: