Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que y'(x) é função apenas da razão y / x ).
j) (x - y) dx + (x + y) dy = 0
5 - Resolva:
a) x dx + y dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e envolve as variáveis e . Para resolver, vamos precisar usar o conceito de integrais e integrais indefinidas. Basicamente, queremos encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada: . Podemos pensar nisso como uma soma de duas derivadas diferenciais que resulta em zero. Para resolver, podemos integrar ambos os lados da equação.

Passo 3

Vamos integrar o lado esquerdo da equação:
Aqui, é a integral de em relação a , e é a integral de em relação a .

Passo 4

Calculando as integrais:
Onde e são constantes de integração. No entanto, como estamos somando essas integrais igual a zero, podemos combinar as constantes em uma única constante .

Passo 5

Substituindo de volta na equação original:
Podemos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:
Como é apenas uma nova constante, podemos chamá-la de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante real qualquer.

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