Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
é função apenas da razão
).
j)
5 - Resolva:
a)
j)
5 - Resolva:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e envolve as variáveis
e
. Para resolver, vamos precisar usar o conceito de integrais e integrais indefinidas. Basicamente, queremos encontrar uma função
que satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
. Podemos pensar nisso como uma soma de duas derivadas diferenciais que resulta em zero. Para resolver, podemos integrar ambos os lados da equação.
Passo 3
Vamos integrar o lado esquerdo da equação:
Aqui,
é a integral de
em relação a
, e
é a integral de
em relação a
.
Passo 4
Calculando as integrais:
Onde
e
são constantes de integração. No entanto, como estamos somando essas integrais igual a zero, podemos combinar as constantes em uma única constante
.
Passo 5
Substituindo de volta na equação original:
Podemos multiplicar todos os termos por 2 para simplificar:
Como
é apenas uma nova constante, podemos chamá-la de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada por:
Onde
é uma constante real qualquer.
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Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse
em torno do eixo
.
Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
Resolva:
j) .
6 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
a)
j)
6 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
a)
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo e as utilize para determinar o comportamento das soluções quando
:
b)
9 - Encontre o valor de para o qual a solução
do problema de valor inicial
b)
9 - Encontre o valor de
permanece finita quando
.