Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função conhecida, como senos ou cossenos. Vamos precisar também resolver a equação homogênea associada e aplicar as condições iniciais no final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por e por 1:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observamos que o lado direito é , que é semelhante às soluções da equação homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar nossa suposição por para evitar duplicação.
Então, propomos:
Aqui, e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituímos e na equação original:
Os termos com cancelam, restando:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 5

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação:

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial com as condições iniciais é:

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Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse em torno do eixo .