Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que é uma técnica para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é uma função conhecida, como senos ou cossenos. Vamos precisar também resolver a equação homogênea associada e aplicar as condições iniciais no final.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
e
por 1:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados. Observamos que o lado direito é
, que é semelhante às soluções da equação homogênea. Isso significa que precisamos multiplicar nossa suposição por
para evitar duplicação.
Então, propomos:
Aqui,
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituímos
e
na equação original:
Os termos com
cancelam, restando:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 5
Agora, juntamos a solução homogênea
com a solução particular
para obter a solução geral da equação:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial com as condições iniciais é:
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Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse
em torno do eixo
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