Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma elipse dada pela equação . A missão é descobrir o volume da elipsóide que essa elipse forma quando gira em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente a fórmula de integração para rotação em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar a elipse em torno do eixo . Imagine pegar a elipse e girá-la 360 graus ao redor do eixo . Esse movimento cria uma forma tridimensional chamada de elipsóide. Para calcular o volume dessa figura, usamos uma técnica de integração que soma infinitos discos fininhos que compõem o sólido.

Passo 3

A equação da elipse é . Nosso objetivo é expressar em termos de para poder usar na fórmula de volume. Vamos isolar :

Passo 4

Agora que temos em função de , podemos usar a fórmula do volume de um sólido de revolução em torno do eixo :
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a integral. Como a função é par (simétrica em relação ao eixo ), podemos calcular de 0 a e multiplicar por 2:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de 0 a :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse em torno do eixo é .

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Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
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Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que é função apenas da razão ).
j)
5 - Resolva:
a)
Resolva:
j) .
6 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
a)