Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma elipse dada pela equação
. A missão é descobrir o volume da elipsóide que essa elipse forma quando gira em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente a fórmula de integração para rotação em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar a elipse em torno do eixo
. Imagine pegar a elipse e girá-la 360 graus ao redor do eixo
. Esse movimento cria uma forma tridimensional chamada de elipsóide. Para calcular o volume dessa figura, usamos uma técnica de integração que soma infinitos discos fininhos que compõem o sólido.
Passo 3
A equação da elipse é
. Nosso objetivo é expressar
em termos de
para poder usar na fórmula de volume. Vamos isolar
:
Passo 4
Agora que temos
em função de
, podemos usar a fórmula do volume de um sólido de revolução em torno do eixo
:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a integral. Como a função é par (simétrica em relação ao eixo
), podemos calcular de 0 a
e multiplicar por 2:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliado de 0 a
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse
em torno do eixo
é
.
Exercícios relacionados
Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
Resolva pelo métodos dos coeficientes indeterminados. Escreva a solução geral.
.
Classifique as EDOs abaixo em lineares/nãolineares, homogêneas/não-homogêneas, separá-veis/não-separáveis, e autônomas/não-autônomas. (Obs: homogênea, nesse exercício, significa que
é função apenas da razão
).
j)
5 - Resolva:
a)
j)
5 - Resolva:
a)
Resolva:
j) .
6 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
a)
j)
6 - Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
a)