Resolva o problema de valor inicial
a)
b)
Rpta: a) , b)

Passo 1

Beleza! Temos dois problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais de segunda ordem. Vamos precisar usar conhecimentos de equações lineares homogêneas e não homogêneas, método dos coeficientes indeterminados para encontrar soluções particulares, e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte a) Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e .

Passo 3

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Então, a solução geral da homogênea é:

Passo 5

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é , vamos tentar uma solução da forma:

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver para e .

Passo 8

Após resolver, encontramos e . Portanto, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para , calculamos a derivada e substituímos , obtendo:

Passo 11

Resolvendo o sistema de equações:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo em :

Passo 12

Substituindo e na solução geral:

Passo 13

Parte b) Agora, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e .

Passo 14

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada: . A equação característica é:

Passo 15

Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são e .
A solução geral da homogênea é:

Passo 16

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa .
Vamos dividir em duas partes devido aos termos do lado direito:
  1. Para , tentamos .
  2. Para , tentamos .

Passo 17

Calculamos as derivadas:
Para :
Substituindo na equação:

Passo 18

Para :
Substituindo na equação:

Passo 19

Portanto, a solução particular é:

Passo 20

A solução geral da equação diferencial é:

Passo 21

Aplicamos as condições iniciais para determinar e .
Para :
Para , calculamos a derivada:
Substituindo :

Passo 22

Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 23

Finalmente, substituímos e na solução geral:

Resposta

a)
b)

Exercícios relacionados

Resolva
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b) , c) , d)
Estime a taxa de variação média da pressão atmosférica em mb/milha de Medicine Hart a Chicago, dado que a distância entre as duas cidades é de aproximadamente 1.400 milhas.
Resolva
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b) , c) , d)
Esboce a curva de nível .