Resolva o problema de valor inicial
a)
b)
Rpta: a)
, b)
a)
b)
Rpta: a)
Passo 1
Beleza! Temos dois problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais de segunda ordem. Vamos precisar usar conhecimentos de equações lineares homogêneas e não homogêneas, método dos coeficientes indeterminados para encontrar soluções particulares, e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte a) Vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, a solução geral da homogênea é:
Passo 5
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, vamos tentar uma solução da forma:
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver para
e
.
Passo 8
Após resolver, encontramos
e
. Portanto, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
, calculamos a derivada e substituímos
, obtendo:
Passo 11
Resolvendo o sistema de equações:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Somando com a primeira equação:
Substituindo em
:
Passo 12
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 13
Parte b) Agora, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
.
Passo 14
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
. A equação característica é:
Passo 15
Resolvendo a equação característica:
Então, as raízes são
e
.
A solução geral da homogênea é:
Passo 16
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação completa
.
Vamos dividir em duas partes devido aos termos do lado direito:
-
Para
, tentamos . -
Para
, tentamos .
Passo 17
Calculamos as derivadas:
Para
:
Substituindo na equação:
Passo 18
Para
:
Substituindo na equação:
Passo 19
Portanto, a solução particular é:
Passo 20
A solução geral da equação diferencial é:
Passo 21
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Para
:
Para
, calculamos a derivada:
Substituindo
:
Passo 22
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo a segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 23
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Resposta
a)
b)
Exercícios relacionados
Resolva
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b)
, c)
, d)
a)
b)
c)
d)
Rpta: a)
Estime a taxa de variação média da pressão atmosférica em mb/milha de Medicine Hart a Chicago, dado que a distância entre as duas cidades é de aproximadamente 1.400 milhas.
Resolva
a)
b)
c)
d)
Rpta: a) , b)
, c)
, d)
a)
b)
c)
d)
Rpta: a)
Esboce a curva de nível
.