Resolva o problema conceitual: Mostre com um exemplo que
e
podem ser convergentes, mas
divergir.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício conceitual sobre séries. A gente precisa mostrar com um exemplo que as séries
e
podem convergir, mas a série do produto delas,
, divergir. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e escolher sequências específicas que atendam a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher as sequências
e
de forma que ambas as séries
e
sejam convergentes. Uma boa escolha é usar sequências alternadas que diminuem em módulo. Por exemplo, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos verificar se as séries
e
realmente convergem. As duas séries são séries alternadas da forma
. Segundo o Teste da Série Alternada, se os termos em módulo (
) são decrescentes e tendem a zero, então a série converge. Como
é decrescente e tende a zero, ambas as séries
e
são convergentes.
Passo 4
Agora, vamos analisar a série do produto
. Multiplicando
por
, temos:
Então, a série do produto fica:
Essa é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Mesmo que
e
sejam convergentes, o produto delas resulta em uma série que não converge.
Resposta
Portanto, mostramos com o exemplo das sequências
e
que, embora as séries
e
sejam convergentes, a série
diverge.