Resolva o problema conceitual: Mostre com um exemplo que sum ak e sum bk podem ser convergentes, mas sum ak bk divergir.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício conceitual sobre séries. A gente precisa mostrar com um exemplo que as séries sum ak e sum bk podem convergir, mas a série do produto delas, sum ak bk, divergir. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e escolher sequências específicas que atendam a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher as sequências ak e bk de forma que ambas as séries sum ak e sum bk sejam convergentes. Uma boa escolha é usar sequências alternadas que diminuem em módulo. Por exemplo, vamos definir:
ak = (-1)^kraizk e bk = (-1)^kraizk

Passo 3

Agora, vamos verificar se as séries sum ak e sum bk realmente convergem. As duas séries são séries alternadas da forma sum (-1)^kraizk. Segundo o Teste da Série Alternada, se os termos em módulo ( 1raizk) são decrescentes e tendem a zero, então a série converge. Como 1raizk é decrescente e tende a zero, ambas as séries sum ak e sum bk são convergentes.

Passo 4

Agora, vamos analisar a série do produto sum ak bk. Multiplicando ak por bk, temos:
ak bk = ( (-1)^kraizk ) ( (-1)^kraizk ) = 1k
Então, a série do produto fica:
sum ak bk = sum 1k
Essa é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Mesmo que sum ak e sum bk sejam convergentes, o produto delas resulta em uma série que não converge.

Resposta

Portanto, mostramos com o exemplo das sequências ak = (-1)^kraizk e bk = (-1)^kraizk que, embora as séries sum ak e sum bk sejam convergentes, a série sum ak bk diverge.

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