Determine as derivadas parciais da função dada.
f(x, y) = (x^3 + y^3)(x - y)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função . A gente precisa encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e . Basicamente, vamos calcular como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a derivada da soma.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é o produto de dois termos: e . Para derivar o produto, usamos a regra do produto: .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
(Sendo que a derivada de em relação a é zero, já que é tratado como constante.)
Agora, a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . De novo, usamos a regra do produto. A função é e .
Primeiro, derivamos em relação a :
(A derivada de em relação a é zero.)
Agora, a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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