Determine as derivadas parciais da função dada.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função
. A gente precisa encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e
. Basicamente, vamos calcular como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a derivada da soma.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é o produto de dois termos:
e
. Para derivar o produto, usamos a regra do produto:
.
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
(Sendo que a derivada de
em relação a
é zero, já que
é tratado como constante.)
Agora, a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. De novo, usamos a regra do produto. A função é
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
(A derivada de
em relação a
é zero.)
Agora, a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função são: