Considere a funçāo
f(x, y)=cl x^2 y e^yx^4+4 y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
nine o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y), se existir, ou mostre que o limite não existe. āo f é contínua no ponto (0,0) ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o limite da função quando o ponto se aproxima de . Além disso, queremos saber se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em duas variáveis e verificar a continuidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
f(x, y)= cl x^2 y e^yx^4+4 y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Queremos calcular .

Passo 3

Para calcular limites de funções de duas variáveis, uma técnica útil é trocar para coordenadas polares, onde e . Isso nos ajuda a ver como a função se comporta à medida que .

Passo 4

Substituindo f(r cos theta, r sin theta) = (r cos theta)^2 (r sin theta) e^r sin theta(r cos theta)^4 + 4 (r sin theta)^2 e f(r cos theta, r sin theta) = r^3 cos^2 theta sin theta e^r sin thetar^4 cos^4 theta + 4 r^2 sin^2 theta por e na função:
Simplificando:

Passo 5

Podemos fatorar f(r cos theta, r sin theta) = r^3 cos^2 theta sin theta e^r sin thetar^2(r^2 cos^4 theta + 4 sin^2 theta) = r cos^2 theta sin theta e^r sin thetar^2 cos^4 theta + 4 sin^2 theta do denominador:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento quando r cos^2 theta sin theta4 sin^2 theta = r cos^2 theta4 sin theta . Note que r cos^2 theta4 sin theta to 0 quando r to 0 quando é pequeno. Assim, a expressão se aproxima de:
Se ou , podemos simplificar:

Passo 7

Por outro lado, se f(x, 0) = x^2 cdot 0 cdot e^0x^4 + 0 = 0 ou , temos e a função se torna:
Portanto, em todas as direções, o limite parece ser 0.

Passo 8

Como o limite é o mesmo ao se aproximar de lim (x, y) (0,0) f(x, y) = 0 por qualquer direção, podemos concluir que:

Resposta

O limite existe e é igual a 0. Além disso, a função é contínua no ponto .

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