Considere a funçāo
nine o limite
, se existir, ou mostre que o limite não existe. āo f é contínua no ponto
?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Além disso, queremos saber se a função é contínua nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em duas variáveis e verificar a continuidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Queremos calcular
.
Passo 3
Para calcular limites de funções de duas variáveis, uma técnica útil é trocar para coordenadas polares, onde
e
. Isso nos ajuda a ver como a função se comporta à medida que
.
Passo 4
Substituindo
e
por
e
na função:
Simplificando:
Passo 5
Podemos fatorar
do denominador:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento quando
. Note que
quando
é pequeno. Assim, a expressão se aproxima de:
Se
ou
, podemos simplificar:
Passo 7
Por outro lado, se
ou
, temos
e a função se torna:
Portanto, em todas as direções, o limite parece ser 0.
Passo 8
Como o limite é o mesmo ao se aproximar de
por qualquer direção, podemos concluir que:
Resposta
O limite
existe e é igual a 0. Além disso, a função
é contínua no ponto
.