Sejam as equações (Bernoulli)
(a)
(b)
Determine suas soluções gerais.
(a)
(b)
Determine suas soluções gerais.
Passo 1
Vamos resolver as equações de Bernoulli apresentadas. As equações de Bernoulli são equações diferenciais não-lineares de primeira ordem que podem ser transformadas em equações lineares através de uma substituição adequada. Para resolver essas equações, precisaremos identificar os termos correspondentes na forma padrão da equação de Bernoulli e aplicar a substituição correta.
Passo 2
Equação (a):
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão da equação de Bernoulli:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli da forma
, fazemos a substituição
. No caso da equação (a), como
, temos:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados da equação linear por
:
Agora, o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Usando a substituição
,
:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que
, então:
Invertendo ambos os lados:
Podemos reescrever para simplificar:
Solução geral da equação (a):
Passo 9
Equação (b):
Primeiro, observamos que esta também é uma equação de Bernoulli. Vamos reescrevê-la na forma padrão:
Aqui, identificamos que:
Passo 10
Aplicamos a substituição
. Com
:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 11
Resolvendo para
:
Substituindo
na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Mas como
, então
. Portanto:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Passo 12
Agora, temos uma equação linear em
:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 13
Multiplicamos ambos os lados da equação linear por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 14
Integrando ambos os lados em relação a
:
Usando substituição
,
:
Continuando a integração:
Portanto:
Simplificando:
Passo 15
Lembrando que
, temos:
Invertendo ambos os lados:
Então, a solução geral é:
Para simplificar, podemos considerar apenas a solução positiva:
Solução geral da equação (b):
Resposta
As soluções gerais das equações de Bernoulli são:
(a)
(b)
Onde
é a constante de integração.
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,
.
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