Resolva o problema de valor inciccial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
E três condições iniciais:
Para resolver isso, a gente vai precisar usar o método dos coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para descobrir os valores das constantes que aparecem na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da nossa equação diferencial. Isso ajuda a identificar os tipos de soluções que teremos.
A equação característica é obtida substituindo por na equação diferencial:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de . Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis valores de são divisores de 56, então vamos testar alguns:
Testando :
Então, é uma raiz.

Passo 4

Agora, vamos fatorar a equação característica usando :
Resolvendo a equação quadrática :
Então, as raízes são:

Passo 5

Agora que temos todas as raízes da equação característica ( ), podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Aqui, são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos usar as condições iniciais para montar um sistema de equações e resolver para .
Primeira condição :
Segunda condição . Primeiro, calculamos a derivada de :
Então, substituindo :
Terceira condição . Calculamos a segunda derivada de :
Substituindo :

Passo 7

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da primeira equação:
Substituímos nas outras equações:
Segunda equação:
çã
Terceira equação:
çã

Passo 8

Agora, temos o sistema simplificado:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a Equação B dividindo tudo por 3:
Agora, multiplicamos a Equação A por 2 para facilitar a eliminação de :
çã
Agora, multiplicamos a Equação B simplificada por 3:
Somando a Equação C e a Equação B simplificada:
Agora, substituímos na Equação A:
Finalmente, substituímos e na expressão de :
Vamos achar um denominador comum, que é 165:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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