Verificar se a equação a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação
é exata. Se for, a gente também vai resolver ela. Para isso, precisamos entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar se uma equação é desse tipo.
Passo 2
Primeiro, uma equação diferencial na forma
é chamada de exata se existe uma função
tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de
em relação a
e
devem corresponder a
e
respectivamente.
Passo 3
Pra verificar se a equação é exata, a gente usa a condição:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata.
Passo 4
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro,
:
Passo 5
Segundo,
:
Agora, comparando
e
:
A igualdade é verdadeira!
Passo 6
Como
, a equação é exata. Agora, vamos encontrar a função
tal que:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Então:
Onde
é uma função que depende só de
.
Passo 8
Agora, vamos usar a segunda condição
para encontrar
:
Comparando:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante.
Passo 9
Portanto, a função
é:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação é:
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.
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