Verificar se a equação a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação
é exata. Se for, a gente também vai resolver ela. Para isso, precisamos entender o que é uma equação diferencial exata e como identificar se uma equação é desse tipo.

Passo 2

Primeiro, uma equação diferencial na forma é chamada de exata se existe uma função tal que:
Ou seja, as derivadas parciais de em relação a e devem corresponder a e respectivamente.

Passo 3

Pra verificar se a equação é exata, a gente usa a condição:
Se essa igualdade for verdadeira, a equação é exata.

Passo 4

Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, :

Passo 5

Segundo, :
Agora, comparando e :
A igualdade é verdadeira!

Passo 6

Como , a equação é exata. Agora, vamos encontrar a função tal que:

Passo 7

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Integrando termo a termo:
Então:
Onde é uma função que depende só de .

Passo 8

Agora, vamos usar a segunda condição para encontrar :
Comparando:
Isso implica que , ou seja, é uma constante.

Passo 9

Portanto, a função é:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação é:

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