Resolva a equação diferencial exata:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Esse tipo de equação é chamada de exata, e para resolvê-la, precisamos encontrar uma função que, quando derivada em relação a
e
, nos dê os termos que temos na equação. Vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é de fato exata.
Passo 3
Agora que confirmamos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende somente de
, já que a integração foi em relação a
.
Passo 4
Em seguida, derivamos
em relação a
e igualamos à função
:
Resolvendo para
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Essa é a solução geral da equação diferencial exata que estamos resolvendo.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Onde
e
.
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Dada a condição inicial
e
.