Resolva a equação diferencial exata:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é a seguinte:
Esse tipo de equação é chamada de exata, e para resolvê-la, precisamos encontrar uma função que, quando derivada em relação a e , nos dê os termos que temos na equação. Vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é realmente exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é de fato exata.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende somente de , já que a integração foi em relação a .

Passo 4

Em seguida, derivamos em relação a e igualamos à função :
Resolvendo para :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Essa é a solução geral da equação diferencial exata que estamos resolvendo.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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