Resolva a equação diferencial de crescimento populacional:
Onde
e
.
Passo 1
Oi! Vamos resolver essa equação diferencial de crescimento populacional juntos. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais, especificamente a equação logística que modela o crescimento de uma população. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui,
representa a população no tempo
, e
é a taxa de crescimento.
Passo 3
A equação é separável, o que significa que podemos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Vamos reescrever a equação assim:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo precisa de uma técnica chamada frações parciais:
Passo 5
Decompomos a fração
em termos mais simples:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Dada a condição inicial
e
.
Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
Suponha que
.