Resolva a equação diferencial de crescimento populacional:
Onde e .

Passo 1

Oi! Vamos resolver essa equação diferencial de crescimento populacional juntos. O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais, especificamente a equação logística que modela o crescimento de uma população. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, representa a população no tempo , e é a taxa de crescimento.

Passo 3

A equação é separável, o que significa que podemos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Vamos reescrever a equação assim:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo precisa de uma técnica chamada frações parciais:

Passo 5

Decompomos a fração em termos mais simples:
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Aqui, é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver para :
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar de outra constante, digamos :

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Dada a condição inicial e .
Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
Suponha que .