Esboce a curva de nível
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos as curvas de nível da função
para os valores de
. Isso está relacionado ao conteúdo de funções de várias variáveis e, mais especificamente, às curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Em funções de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de pontos
que tornam a função igual a uma constante
. Ou seja, para a nossa função
, a curva de nível para um valor específico de
é onde
.
Passo 3
Então, para encontrar a curva de nível, vamos igualar a função a
:
Aqui,
é a função cotangente, que é definida como
.
Passo 4
Vamos reescrever a equação para isolar
:
Isso simplifica bastante a nossa vida! Agora, temos uma expressão direta para
em termos de
e
.
Passo 5
A equa��ão
nos mostra que para cada valor de
, temos uma função seno modificada. Isso significa que as curvas de nível serão simplesmente funções seno com amplitude multiplicada por
.
Passo 6
Agora, vamos esboçar as curvas para cada valor de
:
-
Para
: Uma onda seno invertida com o dobro da amplitude. -
Para
: Uma onda seno invertida com amplitude normal. -
Para
: Isso representa o eixo(linha reta). -
Para
: Uma onda seno padrão. -
Para
: Uma onda seno com o dobro da amplitude.
Passo 7
Pronto! Com essas equações, podemos esboçar as curvas de nível no plano
. Cada curva será uma função seno escalada pela constante
, resultando em ondas com diferentes amplitudes e direções dependendo do valor de
.
Resposta
As curvas de nível da função
para
são dadas pelas equações
. Portanto, cada curva de nível corresponde a uma função seno com amplitude multiplicada por
, resultando em diferentes ondas seno ao esboçar no plano
.