Esboce a curva de nível z = y cossec(x) ; k = -2, -1, 0, 1, 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos as curvas de nível da função para os valores de . Isso está relacionado ao conteúdo de funções de várias variáveis e, mais especificamente, às curvas de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como encontrá-las para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são curvas de nível. Em funções de duas variáveis, uma curva de nível é o conjunto de pontos que tornam a função igual a uma constante . Ou seja, para a nossa função , a curva de nível para um valor específico de é onde .

Passo 3

Então, para encontrar a curva de nível, vamos igualar a função a :
Aqui, é a função cotangente, que é definida como .

Passo 4

Vamos reescrever a equação para isolar :
Isso simplifica bastante a nossa vida! Agora, temos uma expressão direta para em termos de e .

Passo 5

A equa��ão nos mostra que para cada valor de , temos uma função seno modificada. Isso significa que as curvas de nível serão simplesmente funções seno com amplitude multiplicada por .

Passo 6

Agora, vamos esboçar as curvas para cada valor de :
  • Para :
    Uma onda seno invertida com o dobro da amplitude.
  • Para :
    Uma onda seno invertida com amplitude normal.
  • Para :
    Isso representa o eixo (linha reta).
  • Para :
    Uma onda seno padrão.
  • Para :
    Uma onda seno com o dobro da amplitude.

Passo 7

Pronto! Com essas equações, podemos esboçar as curvas de nível no plano . Cada curva será uma função seno escalada pela constante , resultando em ondas com diferentes amplitudes e direções dependendo do valor de .

Resposta

As curvas de nível da função para são dadas pelas equações . Portanto, cada curva de nível corresponde a uma função seno com amplitude multiplicada por , resultando em diferentes ondas seno ao esboçar no plano .

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