Resolva as integrais usando métodos adequados: integral csc (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral csc(x) , dx. Esse exercício é de cálculo, mais especificamente de integração. Vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e métodos de integração para resolver essa integral direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que csc(x) é o mesmo que 1sin(x). Então, podemos reescrever a integral assim:
integral csc(x) , dx = integral 1sin(x) , dx

Passo 3

Agora, para integrar 1sin(x), vamos usar uma técnica que envolve multiplicar o numerador e o denominador por (csc(x) + cot(x)). Isso pode parecer estranho, mas ajuda a simplificar a integral. Então, fazemos:
integral 1sin(x) , dx = integral csc(x) + cot(x)sin(x) cdot (csc(x) + cot(x)) , dx

Passo 4

Ao multiplicar, a expressão fica:
integral csc(x) + cot(x)sin(x) , dx = integral csc^2(x) + csc(x)cot(x)csc(x) + cot(x) , dx
Simplificando, percebemos que o denominador e parte do numerador cancelam, restando:
integral csc^2(x) + csc(x)cot(x)csc(x) + cot(x) , dx = integral csc(x) + cot(x) , dx

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples. Sabemos que:
integral csc(x) , dx = ln|tan(x/2)| + C
onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral de csc(x) é:
integral csc(x) , dx = ln|tan(x/2)| + C

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