Resolva as integrais usando métodos adequados:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício é de cálculo, mais especificamente de integração. Vamos precisar conhecer algumas identidades trigonométricas e métodos de integração para resolver essa integral direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o mesmo que . Então, podemos reescrever a integral assim:

Passo 3

Agora, para integrar , vamos usar uma técnica que envolve multiplicar o numerador e o denominador por . Isso pode parecer estranho, mas ajuda a simplificar a integral. Então, fazemos:

Passo 4

Ao multiplicar, a expressão fica:
Simplificando, percebemos que o denominador e parte do numerador cancelam, restando:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples. Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de é:

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b) Resolva o problema de valor inicial
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Use coordenadas esféricas para calcular , onde é a esfera de raio 3 centrada na origem.