Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo
do gráfico da função
, para
.
Passo 1
Fala aí! Vamos calcular a área da superfície que forma quando a curva da função
, no intervalo de
a
, é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução e precisar da fórmula que envolve a derivada da função e uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
, que é
. A derivada mostra como a função está inclinada em cada ponto, o que é essencial para calcular a área da superfície.
Então,
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo
:
Aqui,
e
.
Passo 4
Substituindo
na fórmula:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Então,
Portanto,
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, substituímos os limites de integração de
a
:
Calculando
Então,
Resposta
A área da superfície gerada é aproximadamente
unidades de área.