Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo do gráfico da função , para .
Passo 1
Fala aí! Vamos calcular a área da superfície que forma quando a curva da função , no intervalo de a , é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o conceito de **área de superfície de revolução** e precisar da fórmula que envolve a derivada da função e uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de , que é . A derivada mostra como a função está inclinada em cada ponto, o que é essencial para calcular a área da superfície.
Então,
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo :
Aqui, e .
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Então,
Portanto,
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando para :
Passo 6
Agora, substituímos os limites de integração de a :
Calculando
Então,
Resposta
A área da superfície gerada é aproximadamente unidades de área.
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Calcule .
Resolva o problema de valor inicial e determine em que intervalo a solução está definida.
Calcule:
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(a) Determine, em função de , os dois valores de para os quais .