Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y, Ay do gráfico da função f(x) = 3 x^2 / 5, para 0 <= x <= 1.

Passo 1

Fala aí! Vamos calcular a área da superfície que forma quando a curva da função , no intervalo de 0 a 1, é girada em torno do eixo y. Para isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução e precisar da fórmula que envolve a derivada da função e uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de f(x), que é . A derivada mostra como a função está inclinada em cada ponto, o que é essencial para calcular a área da superfície.
Então,

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo y:
Aqui, e .

Passo 4

Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Então,
Portanto,

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Para isso, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando para x:

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando
Então,

Resposta

A área da superfície gerada é aproximadamente unidades de área.

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