Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo do gráfico da função , para .

Passo 1

Fala aí! Vamos calcular a área da superfície que forma quando a curva da função , no intervalo de a , é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o conceito de **área de superfície de revolução** e precisar da fórmula que envolve a derivada da função e uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de , que é . A derivada mostra como a função está inclinada em cada ponto, o que é essencial para calcular a área da superfície. Então,

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo : Aqui, e .

Passo 4

Substituindo na fórmula: Vamos simplificar o que está dentro da raiz: Então, Portanto,

Passo 5

Vamos resolver a integral: Para isso, fazemos uma substituição: Seja , então , ou seja, . Substituindo na integral: Voltando para :

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração de a : Calculando Então,

Resposta

A área da superfície gerada é aproximadamente unidades de área.

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