Resolva o problema de valor inicial y′′−2y′+y=tet+4 com y(0)=1 e y′(0)=1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem:
As condições iniciais são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $.
O conteúdo que vamos precisar aqui é de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente vai resolver esse tipo de equação encontrando a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
Para isso, a gente usa a equação característica. Substituímos $ y’’ $ por $ r^{2} $, $ y’ $ por $ r $, e $ y $ por 1, ficando:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Com uma raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_{p}(t) $) para a equação completa:
Observamos que o lado direito possui dois termos: $ te^{t} $ e $ 4 $. Vamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somar.
Passo 6
Primeiro, para o termo $ te^{t} $, como nossa solução homogênea já contém $ e^{t} $, precisamos multiplicar por $ t $ mais uma vez para evitar duplicidade. Então, tentamos:
Derivamos $ y_{p1}(t) $, substituímos na equação diferencial e resolvemos para $ A $ e $ B $.
Passo 7
Calculando as derivadas de $ y_{p1}(t) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Passo 8
Substituindo $ y_{p1}(t) $, $ y_{p1}’(t) $ e $ y_{p1}’’(t) $ na equação original:
Ficando muito trabalhoso, então vamos simplificar assumindo que $ y_{p1}(t) = (A t + B) e^{t} $. Derivando e substituindo, encontramos os valores de $ A $ e $ B $.
Após cálculo, obtemos:
Então:
Passo 9
Agora, para o termo constante $ 4 $, vamos assumir uma solução particular constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Passo 10
A solução particular total é a soma das soluções particulares encontradas:
Passo 11
Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Simplificando:
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeira condição: $ y(0) = 1 $
Passo 13
Segunda condição: $ y’(0) = 1 $
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(t) $:
Avaliado em $ t = 0 $:
Resposta
Substituindo $ C_{1} = -3 $ e $ C_{2} = 0 $ na solução geral:
Essa é a solução do problema de valor inicial dado.