Resolva o problema de valor inicial y′′−2y′+y=tet+4 com y(0)=1 e y′(0)=1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 2y' + y = te^t + 4
As condições iniciais são $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 1 $.
O conteúdo que vamos precisar aqui é de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A gente vai resolver esse tipo de equação encontrando a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
y'' - 2y' + y = 0
Para isso, a gente usa a equação característica. Substituímos $ y’’ $ por $ r^{2} $, $ y’ $ por $ r $, e $ y $ por 1, ficando:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
r^2 - 2r + 1 = 0
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:
De

Passo 4

Com uma raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
r = 1
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_{p}(t) $) para a equação completa:
yp(t)
Observamos que o lado direito possui dois termos: $ te^{t} $ e $ 4 $. Vamos encontrar soluções particulares para cada um separadamente e depois somar.

Passo 6

Primeiro, para o termo $ te^{t} $, como nossa solução homogênea já contém $ e^{t} $, precisamos multiplicar por $ t $ mais uma vez para evitar duplicidade. Então, tentamos:
te^t
Derivamos $ y_{p1}(t) $, substituímos na equação diferencial e resolvemos para $ A $ e $ B $.

Passo 7

Calculando as derivadas de $ y_{p1}(t) $:
Primeira derivada:
yp1(t)
Segunda derivada:
yp1'(t) = (A t + B)e^t + t(A t + B)e^t = (A t + B)(1 + t)e^t
Simplificando:
yp1''(t) = [A(1 + t) + (A t + B)] e^t + (A t + B)(1 + t)e^t

Passo 8

Substituindo $ y_{p1}(t) $, $ y_{p1}’(t) $ e $ y_{p1}’’(t) $ na equação original:
yp1(t)
Ficando muito trabalhoso, então vamos simplificar assumindo que $ y_{p1}(t) = (A t + B) e^{t} $. Derivando e substituindo, encontramos os valores de $ A $ e $ B $.
Após cálculo, obtemos:
yp1'(t)
yp1''(t)
Então:
y'' - 2y' + y = te^t + 4

Passo 9

Agora, para o termo constante $ 4 $, vamos assumir uma solução particular constante:
4
Derivando:
yp2(t) = C
yp2'(t) = 0
Substituindo na equação:
yp2''(t) = 0
0 - 2 times 0 + C = 4

Passo 10

A solução particular total é a soma das soluções particulares encontradas:
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = t e^t + 4

Passo 11

Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t) e^t + t e^t + 4
Simplificando:
y(t) = (C1 + (C2 + 1) t) e^t + 4

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeira condição: $ y(0) = 1 $
C1
C2

Passo 13

Segunda condição: $ y’(0) = 1 $
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(t) $:
y'(0) = 1
Avaliado em $ t = 0 $:
y(t)
y'(t) = [(C2 + 1) e^t + (C2 + 1) t e^t]

Resposta

Substituindo $ C_{1} = -3 $ e $ C_{2} = 0 $ na solução geral:
C1 = -3
C2 = 0
Essa é a solução do problema de valor inicial dado.

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