Calcule as integrais impróprias:
b)
b)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular
. Aqui estamos lidando com integrais impróprias na área de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que facilitam muito a integração em domínios circulares como
.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a integral de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Lembrando que
e
. Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares vira
. Isso simplifica a expressão da integral.
Passo 3
Com a mudança para coordenadas polares, nossa integral fica assim:
Aqui,
varia de 0 a
e
varia de 0 a
, cobrindo todo o plano.
Passo 4
Vamos separar as integrais em
e
:
A integral em
é bem simples:
Passo 5
Agora, focamos na integral em
:
Fazemos a substituição
, então
ou
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Resolvendo a integral de
:
Para que essa integral convirja, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 7
Calculando os limites:
Passo 8
Finalmente, multiplicamos pelo resultado da integral em
:
Resposta
A integral dupla
é igual a
, válida para
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais.
a) onde
.
a)
Esboce cada um dos sólidos e calcule os seus volumes.
i) e
.
i)
Calcule as integrais impróprias:
g)
g)
Resolva os problemas abaixo.
c) Seja . Se a densidade no ponto
é diretamente proporcional à distância do ponto ao plano
, determine a massa e o centro de massa de
.
c) Seja