Calcule as integrais impróprias:
b) integral duplaR^2 d x d y(1+x^2+y^2)^p

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular . Aqui estamos lidando com integrais impróprias na área de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que facilitam muito a integração em domínios circulares como .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a integral de coordenadas cartesianas para coordenadas polares . Lembrando que e . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares vira . Isso simplifica a expressão da integral.

Passo 3

Com a mudança para coordenadas polares, nossa integral fica assim:
integral duplaR^2 dx, dy(1+x^2+y^2)^p = integral0^2pi integral0^infty r, dr, dtheta(1 + r^2)^p
Aqui, varia de 0 a e varia de 0 a , cobrindo todo o plano.

Passo 4

Vamos separar as integrais em integral0^2pi dtheta times integral0^infty r, dr(1 + r^2)^p e integral0^2pi dtheta = 2pi :
A integral em é bem simples:

Passo 5

Agora, focamos na integral em integral0^infty r, dr(1 + r^2)^p :
12 integral1^infty u^-p, du
Fazemos a substituição , então ou . Assim, a integral fica:

Passo 6

Resolvendo a integral de 12 times [ u^-p+1-p+1 ]1^infty :
Para que essa integral convirja, precisamos que , ou seja, .

Passo 7

Calculando os limites:
12 times ( 0 - 1-p+1 ) = 12 times 1p-1 = 12(p-1)

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo resultado da integral em 2pi times 12(p-1) = pip - 1 :

Resposta

A integral dupla é igual a , válida para .

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