Resolva os problemas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo
. Vamos trabalhar com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular essas equações e usar técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
Passo 3
Agora, reorganizamos a equação para deixar
isolado:
Passo 4
Observamos que a equação é não linear devido ao termo
. Isso significa que métodos simples como fatores integrantes para equações lineares não vão funcionar diretamente. Precisamos tentar uma substituição que simplifique a equação.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais manejável. Suponha que
. Então:
Passo 6
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Como
, substituímos:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de
:
Para resolver isso, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 9
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 10
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.