Resolva os problemas a seguir: 2 dy/dx - y/x + y^3 cos(x) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial do tipo . Vamos trabalhar com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular essas equações e usar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:

Passo 3

Agora, reorganizamos a equação para deixar isolado:

Passo 4

Observamos que a equação é não linear devido ao termo . Isso significa que métodos simples como fatores integrantes para equações lineares não vão funcionar diretamente. Precisamos tentar uma substituição que simplifique a equação.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para tornar a equação mais manejável. Suponha que . Então:

Passo 6

Substituindo da equação original na expressão de :
Como , substituímos:

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de v:
Para resolver isso, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 9

Integramos ambos os lados em relação a x:

Passo 10

Resolvendo para v:
Lembrando que , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é a constante de integração.

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