Resolva os problemas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial do primeiro grau e do tipo separável. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Dividindo ambos os lados por , temos:
Aqui, separamos e do lado esquerdo e do lado direito.

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral fica:
A parte da esquerda é um pouco complexa, então vamos simplificar usando frações parciais.

Passo 4

Vamos decompor a fração em frações parciais. Procuramos constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Comparando os coeficientes, temos:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Substituindo e na decomposição, temos:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

Vamos integrar os dois termos:
Integrando o primeiro termo:
Para o segundo termo, fazemos uma substituição. Seja , então , ou . Substituindo:

Passo 7

Juntando as integrações, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Multiplicando todos os termos por para simplificar:
Onde é uma nova constante.

Passo 9

Podemos combinar os logaritmos usando propriedades:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos escrever como uma nova constante :

Passo 10

Para isolar , podemos rearranjar a equação:
Essa equação pode ser resolvida para de forma mais específica dependendo das condições iniciais, mas essa é a forma geral da solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Escreva o conjunto de pontos que corresponde ao dominio da função
e
apresentando, também, uma representação gráfica desse conjunto.
Resolva os problemas a seguir:
A função
é diferenciável origem?
Resolva os problemas a seguir: