Resolva os problemas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial do primeiro grau e do tipo separável. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Aqui, separamos
e
do lado esquerdo e
do lado direito.
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral fica:
A parte da esquerda é um pouco complexa, então vamos simplificar usando frações parciais.
Passo 4
Vamos decompor a fração
em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Comparando os coeficientes, temos:
- Para
: ⇒ - Para
: ⇒
Passo 5
Substituindo
e
na decomposição, temos:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Vamos integrar os dois termos:
Integrando o primeiro termo:
Para o segundo termo, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou
. Substituindo:
Passo 7
Juntando as integrações, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Onde
é uma nova constante.
Passo 9
Podemos combinar os logaritmos usando propriedades:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos escrever
como uma nova constante
:
Passo 10
Para isolar
, podemos rearranjar a equação:
Essa equação pode ser resolvida para
de forma mais específica dependendo das condições iniciais, mas essa é a forma geral da solução.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Escreva o conjunto de pontos que corresponde ao dominio da função
apresentando, também, uma representação gráfica desse conjunto.
Resolva os problemas a seguir:
A função
é diferenciável origem?
Resolva os problemas a seguir: