Escreva o conjunto de pontos que corresponde ao dominio da função
e
apresentando, também, uma representação gráfica desse conjunto.
apresentando, também, uma representação gráfica desse conjunto.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o domínio da função
Isso significa que precisamos identificar todos os pares
que tornam a função válida. Para isso, vamos lembrar que:
- Radiciação: O que está debaixo da raiz quadrada,
, precisa ser maior ou igual a zero ( ), pois não podemos tirar raiz quadrada de números negativos. - Divisão: O denominador
não pode ser igual a zero ( ), para evitar divisão por zero.
Então, vamos precisar aplicar esses dois conceitos para encontrar o domínio da função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condição da radiciação:
Isso significa que
e
devem ser ambos positivos ou ambos negativos. Em outras palavras, eles devem ter o mesmo sinal. Vamos representar isso:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então pode ser qualquer valor, mas como , isso também satisfaz .
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição do denominador:
Isso significa que
não pode ser igual a
. Portanto, todos os pontos onde
devem ser excluídos do domínio.
Passo 4
Juntando as duas condições que encontramos:
-
(mesmo sinal para e ) -
(já que e queremos para evitar a divisão por zero)
Isso define o conjunto de todos os pontos
onde
e
têm o mesmo sinal e
é maior que
.
Passo 5
Vamos representar graficamente esse conjunto no plano
:
-
Primeiro Quadrante (
e ): - Todas as linhas acima da reta
.
- Todas as linhas acima da reta
-
Terceiro Quadrante (
e ): - Todas as linhas abaixo da reta
.
- Todas as linhas abaixo da reta
Isso porque, no primeiro quadrante,
significa estar acima da reta, e no terceiro,
(onde ambos são negativos) significa estar abaixo da reta
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
onde
e
. Graficamente, isso corresponde às regiões acima da reta
no primeiro quadrante e abaixo da reta
no terceiro quadrante.
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Se
, calcule
e responda: que relação existe entre
e
?
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A função
é diferenciável origem?