Resolva os problemas de valor inicial:
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial e uma condição inicial. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e para resolver vamos precisar saber como separar as variáveis e integrar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para deixar
isolado:
Agora, temos uma equação onde
e
estão misturados, mas podemos separá-los para facilitar a resolução.
Passo 4
Vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Isso nos permite integrar ambos os lados independentemente.
Passo 5
Agora, vamos integrar os dois lados da equação:
Aí, temos que encontrar as integrais de cada lado.
Passo 6
Começando pela integral do lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, a integral do lado direito. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja
, então
.
Substituindo, temos:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Juntando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar as constantes combinando
:
Passo 9
Agora, vamos resolver para
. Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos redefinir
como uma nova constante
:
Passo 10
Finalmente, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
:
Resolvendo para
:
Passo 11
Agora, substituímos
de volta na equação de
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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Resolva as equações diferenciais.