Resolva os problemas de valor inicial: a { ddot(x) + 6 dot(x) + 9 x = t + 2; x(0) = 0; dot(x)(0) = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação é com as condições iniciais e . Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e encontrar a solução geral unindo a solução da parte homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é . Para isso, montamos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, percebemos que:
Quando temos raízes iguais, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa. Como o lado direito da equação é , que é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Derivando, temos:
Substituindo , e na equação original:
Distribuindo e agrupando termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação:

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, aplicamos :

Passo 6

Agora, calculamos a derivada de :
Simplificando:
Aplicamos a condição :
Substituindo :

Passo 7

Com os valores de e encontrados, substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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