Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação é
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e encontrar a solução geral unindo a solução da parte homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é
. Para isso, montamos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, percebemos que:
Quando temos raízes iguais, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa. Como o lado direito da equação é
, que é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Derivando, temos:
Substituindo
,
e
na equação original:
Distribuindo e agrupando termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação:
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Passo 6
Agora, calculamos a derivada de
:
Simplificando:
Aplicamos a condição
:
Substituindo
:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo do caminho descrito.
de
a
pelo segmento de reta ligando esses dois pontos.
Resolva as equações:
Resolva os problemas de valor inicial:
Resolva as equações: