Calcule a integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho descrito. de a pelo segmento de reta ligando esses dois pontos.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho reto que vai do ponto até . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha, que basicamente nos ajuda a somar infinitesimais contribuições ao longo de um caminho no espaço. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o trajeto, substituir na expressão do campo vetorial e integrar em relação ao parâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho reto entre os dois pontos. Isso significa expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro , que varia de 0 a 1. A fórmula geral para uma reta que liga dois pontos e é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da posição em relação a , que é . Isso representa o vetor tangente ao caminho:
Passo 4
Em seguida, substituímos as expressões parametrizadas de , e na função do campo vetorial :
Simplificando cada componente:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar entre e :
Fazendo as multiplicações:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1 para obter a integral de linha:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho descrito é igual a 40.