Calcule a integral de linha do campo vetorial F ao longo do caminho descrito. F(x, y, z) = (2xy, x^2 + z, y) de 1,0,2 a (3, 4, 1) pelo segmento de reta ligando esses dois pontos.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho reto que vai do ponto até . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha, que basicamente nos ajuda a somar infinitesimais contribuições ao longo de um caminho no espaço. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o trajeto, substituir na expressão do campo vetorial e integrar em relação ao parâmetro.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho reto entre os dois pontos. Isso significa expressar as coordenadas , e em função de um parâmetro , que varia de 0 a 1. A fórmula geral para uma reta que liga dois pontos e é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da posição em relação a , que é . Isso representa o vetor tangente ao caminho:

Passo 4

Em seguida, substituímos as expressões parametrizadas de , e na função do campo vetorial :
Simplificando cada componente:
Então,

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre e :
Fazendo as multiplicações:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1 para obter a integral de linha:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho descrito é igual a 40.

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