Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o problema. Aqui temos uma equação diferencial de valor inicial:
Isso significa que queremos encontrar a função
que, ao derivarmos em relação a
, obtemos
, e que passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação diferencial e depois usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar a derivada para achar
. A equação é:
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
:
Agora, vamos resolver a integral:
Substituindo de volta na equação de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a constante de integração
usando a condição inicial fornecida:
. Vamos substituir
e
na equação que encontramos:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais indefinidas.
Usando a substituição, calcule as integrais.
A velocidade
de um objeto em queda com massa
e coeficiente re resistência do ar
pode ser modelada pela equação
Suponha que
. Determine a velocidade do objeto em cada instante de tempo. Descreva a distância
percorrida pelo corpo passados
segundos. Supondo que o objeto inicia a queda de uma altura de 300 m , obtenha uma aproximação para o tempo que ele levará para atingir o chão e uma apróximação para a velocidade do objeto no momento do impacto.