Resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o problema. Aqui temos uma equação diferencial de valor inicial:
Isso significa que queremos encontrar a função que, ao derivarmos em relação a , obtemos , e que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar integrar a equação diferencial e depois usar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a derivada para achar . A equação é:
Integrando ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para :
Agora, vamos resolver a integral:
Substituindo de volta na equação de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a constante de integração usando a condição inicial fornecida: . Vamos substituir e na equação que encontramos:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais indefinidas.
Questão (1,0 ponto): Em regiões com a presença de encostas os deslizamentos ocorrem com mais freqüência nos períodos chuvosos. Explique a razão geotécnica para a propensão de rupturas nestes períodos.
Usando a substituição, calcule as integrais.
A velocidade de um objeto em queda com massa e coeficiente re resistência do ar pode ser modelada pela equação
Suponha que . Determine a velocidade do objeto em cada instante de tempo. Descreva a distância percorrida pelo corpo passados segundos. Supondo que o objeto inicia a queda de uma altura de 300 m , obtenha uma aproximação para o tempo que ele levará para atingir o chão e uma apróximação para a velocidade do objeto no momento do impacto.