Usando a substituição, calcule as integrais.
integral cos (4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos(4x) , dx usando o método de substituição. Esse método é super útil quando temos funções compostas, e a ideia é simplificar a integral trocando variáveis. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função composta. Na nossa integral, temos cos(4x), onde 4x é a parte que está dentro do cosseno. Vamos chamar essa parte interna de u. Assim:
u = 4x

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para facilitar a substituição. Diferenciando u = 4x, temos:
dudx = 4 Rightarrow du = 4, dx
Isso significa que podemos expressar dx em termos de du:
dx = du4

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral cos(4x) , dx = integral cos(u) cdot du4 = 14 integral cos(u) , du
Agora, a integral ficou mais simples: integral cos(u) , du, que é uma integral básica.

Passo 5

Integrando cos(u) em relação a u, temos:
integral cos(u) , du = sin(u) + C
Não esqueça de multiplicar pela constante que tiramos antes:
14 sin(u) + C
Agora, voltamos à variável original substituindo u = 4x:
14 sin(4x) + C

Resposta

A integral é igual a 14 sin(4x) + C.

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