Usando a substituição, calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método de substituição. Esse método é super útil quando temos funções compostas, e a ideia é simplificar a integral trocando variáveis. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte interna da função composta. Na nossa integral, temos
, onde
é a parte que está dentro do cosseno. Vamos chamar essa parte interna de
. Assim:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para facilitar a substituição. Diferenciando
, temos:
Isso significa que podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples:
, que é uma integral básica.
Passo 5
Integrando
em relação a
, temos:
Não esqueça de multiplicar pela constante que tiramos antes:
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral é igual a
.
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A velocidade
de um objeto em queda com massa
e coeficiente re resistência do ar
pode ser modelada pela equação
Suponha que
. Determine a velocidade do objeto em cada instante de tempo. Descreva a distância
percorrida pelo corpo passados
segundos. Supondo que o objeto inicia a queda de uma altura de 300 m , obtenha uma aproximação para o tempo que ele levará para atingir o chão e uma apróximação para a velocidade do objeto no momento do impacto.
Usando a substituição, calcule as integrais.